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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分14分)

已知函數。

(1)證明:

(2)若數列的通項公式為,求數列 的前項和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(3)設數列滿足:,設,

若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數,恒成立,

試求的最大值。

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(本小題滿分14分)已知,點軸上,點軸的正半軸,點在直線上,且滿足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(Ⅰ)當點軸上移動時,求動點的軌跡方程;

(Ⅱ)過的直線與軌跡交于、兩點,又過、作軌跡的切線,當,求直線的方程.

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(本小題滿分14分)設函數

 (1)求函數的單調區(qū)間;

 (2)若當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

 (3)若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根,求實數的取值范圍。

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(本小題滿分14分)

已知,其中是自然常數,

(1)討論時, 的單調性、極值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求證:在(1)的條件下,;

(3)是否存在實數,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

設數列的前項和為,對任意的正整數,都有成立,記。

(I)求數列的通項公式;

(II)記,設數列的前項和為,求證:對任意正整數都有

(III)設數列的前項和為。已知正實數滿足:對任意正整數恒成立,求的最小值。

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一、選擇題(本大題8小題,共40分,每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

A

D

A

B

B

B

二、填空題:(本大題共須作6小題,每小題5分,共30分,把答案填寫在題橫線上).

9、        10、    11、   12、3

▲選做題:在下面三道題中選做兩題,三題都選的只計算前兩題的得分。

 13、3   ;14、。 ; 15、

三、解答題(本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16、(本小題滿分14分)解:(1)的內角和

           …………………1分

   ……………5分

  …………………7分

(2)……………9分

…………12分

時,y取得最大值        ………………………14分

17.(本小題滿分12分)

解:(1)3個旅游團選擇3條不同線路的概率為:P1=…………3分

    (2)恰有兩條線路沒有被選擇的概率為:P2=……6分

    (3)設選擇甲線路旅游團數為ξ,則ξ=0,1,2,3………………7分

    P(ξ=0)=       Pξ=1)=       

    Pξ=2)=      Pξ=3)= ………………9分

    ∴ξ的分布列為:

ξ

0

1

2

3

                        

   

………………10分

 

    ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分

18.(本小題滿分12分)

  

(1)過O作OF⊥BC于F,連接O1F

∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,

∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,………………3分

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.

在Rt△O1OF在,tan∠O1FO=

∴∠O1FO=60° 即二面角O1―BC―D為60°………………6分

(2)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,∴OE∥O1C

∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F.

過O作OH⊥O1F于H,則OH是點O到面O1BC的距離,………………10分

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              1. 解法二:(1)∵OO1⊥平面AC,

                ∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,………………2分

                建立如圖所示的空間直角坐標系(如圖)

                ∵底面ABCD是邊長為4,∠DAB=60°的菱形,

                ∴OA=2,OB=2,

                則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)………………3分

                設平面O1BC的法向量為=(x,y,z),

                ,

                ,則z=2,則x=-,y=3,

                =(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)………………5分

                ∴cos<>=

                設O1-BC-D的平面角為α, ∴cosα=∴α=60°.

                故二面角O1-BC-D為60°. ………………6分

                (2)設點E到平面O1BC的距離為d,

                    ∵E是O1A的中點,∴=(-,0,),………………9分

                則d=∴點E到面O1BC的距離等于!12分

                19.(本小題滿分14分)解:易知   …………2分

                設P(x,y),則

                   ………………4分

                ,即點P為橢圓短軸端點時,有最小值3;

                ,即點P為橢圓長軸端點時,有最大值4 ……6分

                (Ⅱ)假設存在滿足條件的直線l易知點A(5,0)在橢圓的外部,當直線l的斜率不存在時,直線l與橢圓無交點,所在直線l斜率存在,設為k

                直線l的方程為  ……………………8分

                由方程組

                依題意  …………10分

                時,設交點C,CD的中點為R,

                又|F2C|=|F2D|

                  …………13分

                ∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,   所以不存在直線,使得|F2C|=|F2D|

                綜上所述,不存在直線l,使得|F2C|=|F2D|  …………14分

                20.(本小題滿分14分)解:(1),

                   …………2分

                上無極值點  …………3分

                當p>0時,令的變化情況如下表:

                x

                (0,)

                +

                0

                極大值

                從上表可以看出:當p>0 時,有唯一的極大值點  ………………7分

                (Ⅱ)當p>0時在處取得極大值,此極大值也是最大值,

                要使恒成立,只需,      ∴

                ∴p的取值范圍為[1,+∞   …………………10分

                (Ⅲ)令p=1,由(Ⅱ)知,

                ,

                   …………11分

                  …………12分

                 

                ∴結論成立   …………………14分

                21、解:(1)由題意得,解得,………………2分

                           ………………4分

                (2)由(1)得,         ①

                  ②    ①-②得

                 . ,………………6分

                ,則由的增大而減小時,恒成立,………………9分

                      (3)由題意得恒成立

                  記,則

                ………………12分

                是隨的增大而增大 

                的最小值為,,即. ………………14分

                 


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