1函數y＝的定義域是(　　 )

A{x｜0＜x≤)　　　　　　　　 B{x｜2kπ＜x≤2kπ+，k∈Z

C{x｜kπ＜x≤kπ+，k∈Z D{x｜kπ－＜x≤kπ+，k∈Z

解析：由logtanx≥0，得0＜tanx≤1

根據y＝tanx在x∈(－，)上的圖象可知0＜x≤

結合周期性，可知原函數的定義域為：{x｜kπ＜x≤kπ+，k∈Z}

答案：C

2求函數y＝的定義域

解：∵cotxsinx＝·sinx＝cosx

∴函數的定義域由確定

解之得2kπ-≤x≤2kπ+，且x≠kπ，(k∈Z)

從而原函數的定義域為：［2kπ－，2kπ∪(2kπ，2kπ+ (k∈Z)

3如果α、β∈(，π)且tanα＜cotβ，那么必有(　　 )

Aα＜β　　　　　 　　　　Bβ＜α

Cα+β＜　　　　　　 Dα+β＞

解：tanα＜cotβtanα＜tan(－β

∵α、β∈(，π)，－β∈(，π)

又∵y＝tanx在(，π)上是增函數

∴α＜－β　 即α+β＜

答案：C

4函數y＝lg(tanx)的增函數區(qū)間是(　　 )

A(kπ－，kπ+)(k∈Z)　　　　 B(kπ，kπ+)(k∈Z)

C(2kπ－，2kπ+)(k∈Z)　　 D(kπ，kπ+π)(k∈Z)

解：函數y＝lg(tanx)為復合函數，要求其增函數區(qū)間則要滿足tanx＞0，且y＝tanx是增函數的區(qū)間

解之得kπ＜x＜kπ+ (k∈Z)

∴原函數的增函數區(qū)間為：(kπ，kπ+)(k∈Z)

答案：B

5試討論函數y＝log_atanx的單調性

解：y＝log_atanx可視為y＝log_au與u＝tanx復合而成的，復合的條件為tanx＞0，

即x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)

①當a＞1時，y＝log_au在u∈(0，+∞)上單調遞增；

當x∈(kπ，kπ+)時，u＝tanx是單調遞增的，

∴y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上是單調增函數

②當0＜a＜1時，y＝log_au在u∈(0，+∞)上單調遞減；

當x∈(kπ，kπ+)時，u＝tanx是單調遞增的

∴y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上是單調減函數

故當a＞1時，y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上單調遞增；

當0＜a＜1時，y＝log_atanx在x∈(kπ，kπ+)(k∈Z)上單調遞減；

3．求函數y＝tan2x的定義域、值域和周期、并作出它在區(qū)間［－π，π］內的圖象

解：(1)要使函數y＝tan2x有意義，必須且只須2x≠+kπ，k∈Z

即x≠+，k∈Z

∴函數y＝tan2x的定義域為{x∈R｜，x≠，k∈Z}

(2)設t＝2x，由x≠，k∈Z}知t≠+kπ，k∈Z

∴y＝tant的值域為(－∞，+∞)

即y＝tan2x的值域為(－∞，+∞)

(3)由tan2(x+)＝tan(2x+π)＝tan2x

∴y＝tan2x的周期為．

(4)函數y＝tan2x在區(qū)間［－π，π］的圖象如圖

2．已知f(x)=tanx，對于x₁，x₂∈(0，)且x₁≠x₂試證

證明：∵0＜x₁＜　 0＜x₂＜

∴－＜x₁－x₂＜且x₁≠x₂　 ∴cos(x₁－x₂)＜1

即1+cos(x₁+x₂)＞2cosx₁cosx₂ 　，

說明：通過本題的證明可知函數y＝tanx的圖象，當x∈(0，)時是下凸的，同樣可以證明函數y＝tanx的圖象當x∈(－，0)時是上凸的?

1．利用單位圓中的三角函數線：

(1)證明當0＜x＜時tanx＞x，(2)解方程tanx＝x，(－＜x＜)．

(1)證明：如圖x＝AP，角x的正切線為AT

即tanx＝AT，由S_扇形AOP＜S_△OAT?

即

∴x＜tanx(0＜x＜)

又由于y＝x與y＝tanx為奇函數，當0＜x＜時，x＜tanx

(2)解：由(1)結論，得∴當－＜x＜0時x＞tanx

又x＝0是方程x＝tanx的解

因此方程x＝tanx在(－，)內有惟一解即?x＝0?

例1 用圖象解不等式

解：利用圖象知，所求解為

亦可利用單位圓求解

例2求函數的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調性

解：由得，

所求定義域為　

值域為R，周期，是非奇非偶函數

在區(qū)間上是增函數

例3作出函數且的簡圖

解：

例4求下列函數的定義域

1、　　　 2、

解：1、

2

例5 已知函數y=sin2x+cos2x-2　

(1)用“五點法”作出函數在一個周期內的圖象　

(2)求這個函數的周期和單調區(qū)間

(3)求函數圖象的對稱軸方程　

(4)說明圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的　

解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2

(1)列表　

x
	0				2
	-2	0	-2	-4	-2

其圖象如圖示　

(2)=π　

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函數的單調增區(qū)間為　

［-π+kπ,+kπ］,k∈Z　

由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函數的單調減區(qū)間為　

［+kπ,π+kπ］,k∈Z　

(3)由2x+=+kπ得x=+π　

∴函數圖象的對稱軸方程為x=+π,(k∈Z)　

(4)把函數y₁=sinx的圖象上所有點向左平移個單位，得到函數y₂=sin(x+)的圖象；　

再把y₂圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y₃=sin (2x+)的圖象；　

再把y₃圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到y₄=2sin (2x+)的圖象；　

最后把y₄圖象上所有點向下平移2個單位，得到函數y=2sin (2x+)-2的圖象　

評注：(1)求函數的周期、單調區(qū)間、最值等問題，一般都要化成一個角的三角函數形式　

(2)對于函數y=Asin(ωx+φ)的對稱軸，實際上就是使函數y取得最大值或最小值時的x值　

(3)第(4)問的變換方法不惟一，但必須特別注意平移變換與伸縮變換的先后順序！

例6 如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+B　

(1)求這段時間的最大溫差；　

(2)寫出這段曲線的函數解析式　

解：(1)由圖可知，這段時間的最大溫差是30-10=20(℃)　

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數y=Asin(ωx+φ)+B的半個周期的圖象　

∴·=14-6ω=　

又由圖可得

∴y=10sin(x+φ)+20　

將x=6，y=10代入上式得：sin(π+φ)=-1　

∴

故所求的解析式為　

y=10sin(x+π)+20，x∈［6,14］　

評注：①本題以應用題的形式考查熱點題型，設計新穎別致，匠心獨具　

②此類“由已知條件或圖象求函數的解析式”的題目，實質上是用“待定系數法”確定A，ω，φ和B，它們的計算方法為：　

ω與周期有關，可通過T=求得，而關鍵一步在于如何確定φ？通常是將圖象上已知點的坐標代入函數解析式，得到一個關于φ的簡單三角方程，但φ到底取何值值得考慮若得方程sinφ=，那么φ是取，還是取π呢？這就要看所代入的點是在上升的曲線上，還是在下降的曲線上，若在上升的曲線上，φ就取，否則就取π，而不能同時取兩個值

例7 a為何值時，方程sin²x+2sinxcosx-2cos²x=a有實數解　

分析：所給方程的特征較明顯，即是關于sinx與cosx的奇式方程，通過變形就可化為以tanx為變元的一元二次方程，從而據判別式進行求解　

解法一：原方程可化為：　

sin²x+2sinxcosx-2cos²x=a(sin²x+cos²x)　

即(1-a)sin²x+2sinxcosx-(2+a)cos²x=0　

(1)當a≠1時，∵cosx≠0,　

∴方程兩邊同除以cos²x得(1-a)tan ²x+2tanx-(2+a)=0　

∵tanx∈R∴Δ≥0即4+4(1-a)(2+a)≥0　

即a²+a-3≤0又a≠1,　

∴a∈［,1］∪(1,］　

(2)當a=1時，原方程化為2sinxcosx-3cos²x=0,　

此方程有實根　

綜合(1)、(2)可得a∈［,］時，原方程有實數根　

解法二：(用函數觀點)　

當實數a取函數y=sin²x+2sinxcosx-2cos²x值域中的數值時，原方程有實根因此，求a的范圍，實質上就是求上述函數的值域　

∵y=sin²x+2sinxcosx-2cos²x　 =1+sin2x-3cos²x　

=1+sin2x-(1+cos2x)　 =sin2x-cos2x-

=sin(2x-φ)- 　其中

∴y∈［］　

即a∈［］時，原方程有實數根　

評注：解法一是常規(guī)解法，解法二利用了變換的觀點通過函數思想來解方程函數與方程是數學中兩個重要的概念，在解決數學問題時，如能靈活運用，將使解答具有創(chuàng)造性

例8 某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室(如圖所示)，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在　 上設矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數，并指出當點H在　　 的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？　

分析：主要考查學生解決實際問題的能力及函數最值的求解　

解：延長GH交CD于N，則NH=40 sinθ,CN=40 cosθ　

∴HM=ND=50-40 cosθ,AM=50-40 sinθ　

故S=(50-40 cosθ)(50-40 sinθ)　

=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤)

令t=sinθ+cosθ=sin(θ+)　

則sinθcosθ=且t∈［1, ］　

∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450　

又t∈［1, ］∴當t=1時，S_max=500　

此時sin(θ+)=1sin (θ+)=　

∵≤θ+≤π　 ∴θ+=或π　

即θ=0或θ=　

答：當點H在　　 的端點E或F處時，該健身室的面積最大，最大值是500 m²

6．單調性：在區(qū)間上函數單調遞減

5．奇偶性：奇函數

4．周期：　　　　　

2．值域：R，

1．定義域：