Question

閱讀下列材料，并解決后面的問題．
★閱讀材料：
我國是歷史上較早發(fā)現(xiàn)并運用“勾股定理”的國家之一．我中古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，“勾股定理”因此而得名．
勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a²+b²=c²．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．請運用“勾股定理”解決以下問題：

（1）如圖一，分別以直角三角形的邊為邊長作正方形，其中s₁=400，s₂=225，則s₃=

625

．
（2）如圖二，是一個園柱形飲料罐，底面半徑=8，高=15，頂面正中有一個小園孔，則一條直達底部的直吸管的最大長度是

17

．注：罐壁厚度和頂部園孔直徑忽略不計．
（3）如圖三，所示的直角三角形中，AB=6．則s₁+s₂的值=

13.5

． 注π值取3．
（4）如圖四的圓柱，高=5厘米，底面半徑=4厘米，在園柱底面A點有一只螞蟻，它想吃到與A點相對的B點處的食物，需要爬行的路程是多少？小聰是這樣思考的：
①將該園柱的側面展開后得到一個長方形，如圖五所示（A點的位置已經(jīng)給出），請在圖中中標出B點的位置并連接AB．
②小聰認為線段AB的長度是螞蟻爬行的最短路程，那么螞蟻爬行的最短路程是

13

厘米．注：π值取3．
（5）如圖六，在長方形的底面A點有一只螞蟻，想吃到上底面與A點相對的B點處的食物，它沿長方形表面爬行的最短路程是

15

厘米．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理易得S₁+S₂=S₃，根據(jù)已知數(shù)據(jù)代入求解；
（2）直吸管的最大長度可根據(jù)勾股定理解答；
（3）根據(jù)半圓面積公式結合勾股定理，知S₁+S₂等于以斜邊為直徑的半圓面積；
（4）①圓柱的平面展開圖上面長的中點即為B點，連接AB．
②利用勾股定理可求出AB的長，即可求出螞蟻沿側面爬行時最短的路程．
（5）最短路線可放在平面內(nèi)根據(jù)兩點之間線段最短去求解，螞蟻爬的兩個面可以放平面內(nèi)成為一個長方形，根據(jù)勾股定理去求解．

解答：解：（1）由正方形面積公式以及勾股定理得S₁+S₂=S₃，
又因為S₁=400，S₂=225，
故S₃=400+225=625．

（2）直吸管最大長度根據(jù)勾股定理，得：

152+82

=17．
答：一條直達底部的直吸管的最大長度是17．

（3）以AB為直徑大半圓的面積=

1

2

×3×（6÷2）²=13.5，
所以S₁+S₂=13.5．

（4）①B點上面長的中點，連接AB，如圖所示．

②圓柱高BC=5厘米，底面半徑=4厘米，
AC=

1

2

×2×3×4=12厘米，
故AB=

122+52

=13厘米．
答：螞蟻爬行的最短路程是13厘米．

（5）AB的長就為最短路線．
然后根據(jù)展開圖，若螞蟻沿側面爬行，則經(jīng)過的路程為=

(9+9)2+32

=3

37

（cm）；
若螞蟻沿側面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為

(9+3)2+92

=15（cm）．
所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是15厘米．
故答案為：625；17；13.5；13；15．

點評：（1）題考查了正方形面積的計算以及勾股定理的應用．
（2）題考查了圓柱的認識以及勾股定理的應用．
（3）題根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理證明：以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積，重在驗證勾股定理．
（4）題主要考查了平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．
（5）題考查平面展開問題，關鍵是把立體圖形能夠展成平面圖形求解．