Question

9．已知a_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$    n=（1，2，3…，2002），求當(dāng)a₁=1時(shí)，a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃
的值．

Answer 1

分析 先根據(jù)a₁=1及a_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$   求出a₂，a₃的值，找出規(guī)律，然后再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：因?yàn)閍_n+1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{a}_{n}}}$  
當(dāng)當(dāng)a₁=1時(shí)
a₂=$\frac{1}{1+\frac{1}{1}}$=$\frac{1}{2}$
a₃=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$
…
a₂₀₀₃=$\frac{1}{2003}$
所以a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃
=$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$+…$\frac{1}{2002×2003}$
=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{2002}$$-\frac{1}{2003}$）
=1-$\frac{1}{2003}$
=$\frac{2002}{2003}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意得出a₁，a₂，a₃的值，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．