Question

從1至2000這2000個(gè)數(shù)中最多能選出多少個(gè)數(shù)，使得任何兩個(gè)數(shù)的差既不等于4也不等于7？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：競賽專題

分析：先證明連續(xù)的11個(gè)數(shù)中符合條件的數(shù){差非4非7}最多有5個(gè)，設(shè)為n+1，n+2，…，n+11，顯然的任意兩個(gè)數(shù)的差與n無關(guān)，這樣命題等價(jià)于證明：1，2，…，11中符合條件的數(shù)最多5個(gè)，分組為[1，5，9]，[2，6，10]，[3，7]，[4，8，11]則前三組中每組最多取1個(gè)，最后一組最多取2個(gè)，一共最多取5個(gè)，同樣的連續(xù)的9個(gè)數(shù)符合條件的最多是5個(gè)，分組為[1，5]，[2，6]，[3，7]，[4，8]，[9]顯然的最多取5個(gè)，對于1，2，…，1989，分組為[1，2，…，11]，[12，13，…，22]，…，[1970，1971，…，1980]，[1992，1995，…，2000]，有前面的結(jié)論知道前面的181組每組最多取5個(gè)數(shù)，最后的一組最多取5個(gè)，一共最多取181×5+5=910．

解答： 解：先證明連續(xù)的11個(gè)數(shù)中符合條件的數(shù){差非4非7}最多有5個(gè)，設(shè)為n+1，n+2，…，n+11，顯然的任意兩個(gè)數(shù)的差與n無關(guān)，這樣命題等價(jià)于證明：1，2，…，11中符合條件的數(shù)最多5個(gè)，分組為[1，5，9]，[2，6，10]，[3，7]，[4，8，11]則前三組中每組最多取1個(gè)，最后一組最多取2個(gè)，一共最多取5個(gè)，同樣的連續(xù)的9個(gè)數(shù)符合條件的最多是5個(gè)，分組為[1，5]，[2，6]，[3，7]，[4，8]，[9]顯然的最多取5個(gè)，對于1，2，…，1989，分組為[1，2，…，11]，[12，13，…，22]，…，[1970，1971，…，1980]，[1992，1995，…，2000]，有前面的結(jié)論知道前面的181組每組最多取5個(gè)數(shù)，最后的一組最多取5個(gè)，一共最多取181×5+5=910，下面構(gòu)造實(shí)例，為方便某數(shù)不取時(shí)用0代替他的位置，有10040670900[12]00[15]0[17][18]0[20]00[23]00[26]0[28][29]0[31]00[34]00[37]0[39][40]0[42]00，…，[1992]00[1995]0[1997][1998]0[2000]中間的省略了，它們與1到44的排布是同樣的具有周期性，顯然該數(shù)列符合要求．

點(diǎn)評：此題也可這樣理解：可以證明任意連續(xù)11個(gè)數(shù)最多有5個(gè)，任意連續(xù)9個(gè)數(shù)最多也有5個(gè)（這兩句話不矛盾）．
比如1到11里，1，4，6，7，9符合條件（自己可以證明一下5個(gè)是最多的，這個(gè)不太難）．
下一個(gè)周期是12，15，17，18，20符合條件．仔細(xì)檢查一下，這兩部分放一塊互不干擾，
很容易看出按這樣的規(guī)律一直寫下去，仍然滿足條件．
2000除以11等于181余9，比較容易發(fā)現(xiàn)最后9個(gè)數(shù)仍然有5個(gè)．
所以總共有182×5=910