Question

4．問題研究：
小明遇到這樣一個問題：
四邊形可以畫出2條對角線，五邊形可以畫出5條對角線．那么六邊形可以畫多少條對角線呢？


他發(fā)現(xiàn)，即使是數(shù)一數(shù)圖3中已經(jīng)畫好的對角線，也挺難數(shù)清楚一共有多少條．于是他認真研究起來，想找到其中的規(guī)律．
他發(fā)現(xiàn)在任何一幅圖中，從某個點出發(fā)畫對角線都有一定的規(guī)律．如圖1中，從A點出發(fā)只能畫連接C點的對角線，從A點出發(fā)是不能連接A點本身以及和A點相鄰的B點和C點的；在圖2中，從A點出發(fā)能畫連接C點和D點的兩條對角線，A點本身和B、E兩點也是不可以連接的．
那么在圖3中，從A點出發(fā)，除了A、B、F三點不能連接，可以畫3條對角線；照這樣想，那么從任何一點出發(fā)都可以畫出3條對角線，這樣就有了18條對角線．如果這樣畫，任何一條對角線又都重復(fù)了一次．如對角線AD，就是從A連接D，也是從D連接A，即重復(fù)了一次．所以圖3中六邊形的對角線應(yīng)該可以畫9條．
通過研究，小明不但解決了六邊形對角線條數(shù)的問題，而且他發(fā)現(xiàn)其實任意多邊形的對角線條數(shù)問題都是可以解決的．如53邊形中，從任何一個點出發(fā)都能畫50條對角線；考慮到重復(fù)，那么53邊形可以畫1325條對角線．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)：從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)比邊數(shù)少3；從一個頂點出發(fā)有（n-3）條對角線，共n個頂點，因此共可以畫n（n-3）條，還有一半是重復(fù)的，因此總條數(shù)為$\frac{1}{2}$n（n-3）；根據(jù)對角線總條數(shù)公式代入數(shù)據(jù)即可求解．

解答 解：$\frac{1}{2}$×6×（6-3）
=$\frac{1}{2}$×6×3
=9（條）
$\frac{1}{2}$×53×（53-3）
=$\frac{1}{2}$×53×50
=1325（條）
答：在圖3中，從A點出發(fā)，除了A、B、F三點不能連接，可以畫3條對角線；照這樣想，那么從任何一點出發(fā)都可以畫出3條對角線，這樣就有了18條對角線．如果這樣畫，任何一條對角線又都重復(fù)了一次．如對角線AD，就是從A連接D，也是從D連接A，即重復(fù)了一次．所以圖3中六邊形的對角線應(yīng)該可以畫9條．53邊形中，從任何一個點出發(fā)都能畫50條對角線；考慮到重復(fù)，那么53邊形可以畫1325條對角線．
故答案為：3，9；50，1325．

點評 此題主要考查了多邊形的對角線、內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：$\frac{1}{2}$nn（n-3）（n≥3，且n為整數(shù)）．