Question

16．數(shù)列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）$\frac{1}{10}$是第幾個數(shù)？
（2）第400個數(shù)是幾分之幾？

Answer 1

分析 （1）分母是1的分數(shù)有1個，分子是1；
分母是2的分數(shù)有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數(shù)有5個，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分數(shù)有7個；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分數(shù)的個數(shù)分別是1，3，5，7…，當分母是n時有2n-1個分數(shù)；由此求出從分母是1的分數(shù)到分母是10的分數(shù)一共有多少個；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分母相同時再減少到1；因此$\frac{1}{10}$在這個數(shù)列中應該有2個，求出第一個$\frac{1}{10}$是第幾個即可；
（2）分母是1的分數(shù)有1個，分子是1；
分母是2的分數(shù)有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分數(shù)有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數(shù)有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數(shù)有n+1個（n＞1），由此規(guī)律進一步探究答案即可

解答 解：（1）分母是7的分數(shù)一共有；
2×7-1=13（個）；
從分母是1的分數(shù)到分母是10的分數(shù)一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（個）；
那么從第100個分數(shù)開始依次是：$\frac{1}{10}$…$\frac{9}{10}$所以第一個$\frac{1}{10}$是第101個分數(shù)．
答：第一次出現(xiàn)的$\frac{1}{10}$是第101個分數(shù)；
（2）分母是3的分數(shù)有4個，分子是1，2，3，1；
分母是4的分數(shù)有5個；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分數(shù)有n+1個（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因為（26+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404個分數(shù)是$\frac{1}{27}$，向前推為第403個分數(shù)是$\frac{27}{27}$，第402個分數(shù)是$\frac{26}{27}$，第401個分數(shù)是$\frac{25}{27}$，第400個分數(shù)是$\frac{24}{27}$，所以這串數(shù)的第400個數(shù)是$\frac{24}{27}$．
答：第400個數(shù)是$\frac{24}{27}$．

點評 本題需要找出分數(shù)個數(shù)與分母之間的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律．