Question

一個自然數(shù)，如果它的奇數(shù)位上各數(shù)字之和與偶數(shù)位上各數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)，那么這個自然數(shù)是11的倍數(shù)，例如1001，因為1+0=0+1，所以它是11的倍數(shù)；又如1234，因為4+2-（3+1）=2不是11的倍數(shù)，所以1234不是11的倍數(shù)．問：用0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字排成不含重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中有幾個是11的倍數(shù)？

Answer 1

分析：用1.2.3.4.5組成不含重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，a₁a₂a₃a₄a₅a₆它能被11整除，并設(shè)a₁+a₃+a₅≥a₂+a₄+a₆，則對某一整數(shù)k≥0，有：a₁+a₃+a₅-a₂-a₄-a₆=11k，也就是：
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=11k+2（a₂+a₄+a₆）①
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a₂+a₄+a₆）②
由此看出k只能是奇數(shù)
由（1）式看出，0≤k＜2，又因為k為奇數(shù)，所以只可能k=1，
但是當(dāng)k=1時，由（2）式看出a₂+a₄+a₆=2．
但是在0、1、2、3、4、5中任何三個數(shù)之和也不等于2，可見k≠1．因此（1）不成立．
對于a₂+a₄+a₆＞a₁+a₃+a₅的情形，也可類似地證明（a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅）不是11的倍數(shù)．
由此即可得出結(jié)論．

解答：解：用1.2.3.4.5組成不含重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，a₁a₂a₃a₄a₅a₆它能被11整除，并設(shè)a₁+a₃+a₅≥a₂+a₄+a₆，則對某一整數(shù)k≥0，有：a₁+a₃+a₅-a₂-a₄-a₆=11k，也就是：
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=11k+2（a₂+a₄+a₆）①
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a₂+a₄+a₆）②
由此看出k只能是奇數(shù)
由（1）式看出，0≤k＜2，又因為k為奇數(shù)，所以只可能k=1，
但是當(dāng)k=1時，由（2）式看出a₂+a₄+a₆=2．
但是在0、1、2、3、4、5中任何三個數(shù)之和也不等于2，可見k≠1．因此（1）不成立．
對于a₂+a₄+a₆＞a₁+a₃+a₅的情形，也可類似地證明（a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅）不是11的倍數(shù)．
根據(jù)上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能組成不包含重復(fù)數(shù)字的能被11整除的六位數(shù)．

點評：明確能被11整除的數(shù)的特征：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括0），那么，原來這個數(shù)就一定是11的倍數(shù)．