Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°的三角板,按如圖①所示拼在一起,CB與DE重合.
(1)求證:四邊形ABFC為平行四邊形;
(2)取BC中點(diǎn)O,將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖②中△A′B′C′位置,直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點(diǎn),猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)在(2)的條件下,指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí),四邊形PCQB為菱形(不要求證明).
分析:(1)已知△ABC≌△FCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AB=CF,AC=BF,根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論.
(2)根據(jù)已知利用AAS判定△COQ≌△BOP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OP=OQ.
(3)根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形的菱形進(jìn)行分析即可.
解答:解:(1)證明:∵△ABC≌△FCB,
∴AB=CF,AC=BF.
∴四邊形ABFC為平行四邊形.
(用其它判定方法也可)

(2)OP=OQ,
理由如下:∵OC=OB,∠COQ=∠BOP,∠OCQ=∠PBO,
∴△COQ≌△BOP.
∴OQ=OP.
(用平行四邊形對(duì)稱性證明也可)

(3)90°.
理由:∵OP=OQ,OC=OB,
∴四邊形PCQB為平行四邊形,
∵BC⊥PQ,
∴四邊形PCQB為菱形.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定及性質(zhì),全等三角形的判定,菱形的判定等知識(shí)的綜合運(yùn)用.
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如圖,把正方形ACFG與Rt△ACB按如圖①所示重疊在一起,其中AC=2,∠BAC=60°,若把Rt△ACB繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使斜邊AB恰好經(jīng)過(guò)正方形ACFG的頂點(diǎn)F,得△A′B′C,AB分別與A′C、A′B′相交于點(diǎn)D、E,如圖②所示
(1)△ABC至少旋轉(zhuǎn)多少度才能得到△A'B'C?說(shuō)明理由;
(2)求△ABC與△A′B′C重疊部分(即四邊形CDEF)的面積.

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