Question

8．將從1開始的自然數(shù)分組如圖．

（1）按此規(guī)律第8行第1個數(shù)字是50，第8個數(shù)字是57，第8行所有數(shù)字的平均數(shù)是57．
（2）第n行第一個數(shù)字是n²-2n+2，最后一個數(shù)字是n²．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)圖示，可得每一行數(shù)字的個數(shù)分別是1、3、5、7、9、…、2n-1；然后根據(jù)等差數(shù)列的求和方法，求出前7行的數(shù)字的總數(shù)是多少；再用前7行的數(shù)字的總數(shù)分別加上1、8，求出第8行第1個數(shù)字、第8行第8個數(shù)字各是多少即可；最后根據(jù)平均數(shù)的求法，用第8行所有數(shù)字的和除以數(shù)字的個數(shù)，求出平均數(shù)是多少即可．
（2）首先根據(jù)等差數(shù)列的求和方法，求出前n-1行的數(shù)字的總數(shù)是多少；然后用前n-1行的數(shù)字的總數(shù)加上1，求出第n行第一個數(shù)字是多少；最后用前n-1行的數(shù)字的總數(shù)加上2n-1，求出最后一個數(shù)字是多少即可．

解答 解：（1）第8行第1個數(shù)字是：
（1+3+5+7+9+11+13）+1
=（1+13）×7÷2+1
=49+1
=50

第8個數(shù)字是：
（1+3+5+7+9+11+13）+8
=（1+13）×7÷2+8
=49+8
=57

第8行的數(shù)字個數(shù)是：
2×8-1=15（個），
第8行的最后一個數(shù)字是：
50+15-1=64，
第8行所有數(shù)字的平均數(shù)是：
[（50+64）×15÷2]÷15
=114×15÷2÷15
=57
答：第8行第1個數(shù)字是50，第8個數(shù)字是57，第8行所有數(shù)字的平均數(shù)是57．

（2）第n行第一個數(shù)字是：
（1+3+5+7+…+2n-3）+1
=（1+2n-3）×（n-1）÷2+1
=n²-2n+1+1
=n²-2n+2
第n行最后一個數(shù)字是：
（1+3+5+7+…+2n-3）+（2n-1）
=（1+2n-3）×（n-1）÷2+（2n-1）
=n²-2n+1+（2n-1）
=n²
答：第n行第一個數(shù)字是n²-2n+2，最后一個數(shù)字是n²．
故答案為：50、57、57；n²-2n+2、n²．

點評 （1）此題主要考查了數(shù)陣圖中找規(guī)律問題的應用，注意觀察總結出規(guī)律，并能正確的應用規(guī)律，解答此題的關鍵是要明確每一行數(shù)字的個數(shù)分別是1、3、5、7、9、…、2n-1．
（2）此題還考查了等差數(shù)列的求和公式，以及平均數(shù)的含義和求法的應用，要熟練掌握．