Question

16．有一串分?jǐn)?shù)：
$\frac{1}{1}$；$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…
（1）第一次出現(xiàn)的$\frac{5}{6}$是第30個分?jǐn)?shù)；
（2）第100個分?jǐn)?shù)是$\frac{10}{10}$．

Answer 1

分析 （1）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有5個，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有7個；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分?jǐn)?shù)的個數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時有2n-1個分?jǐn)?shù)；由此求出從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是6的分?jǐn)?shù)一共有多少個；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分母相同時再減少到1；因此$\frac{5}{6}$在這個數(shù)列中應(yīng)該有2個，求出第一個$\frac{5}{6}$是第幾個即可；
（2）先判斷出1+3+5+…加到多少和接近100，求出第100個數(shù)的分母，進(jìn)而求出這個數(shù)．

解答 解：（1）分母是5的分?jǐn)?shù)一共有；
2×5-1=9（個）；
從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是5的分?jǐn)?shù)一共：
1+3+5+7+9，
=（1+9）×5÷2，
=50÷2，
=25（個）；
那么從第26個分?jǐn)?shù)開始依次是：$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{6}$，$\frac{3}{6}$，$\frac{4}{6}$，$\frac{5}{6}$；所以第一個，$\frac{5}{6}$是第30個分?jǐn)?shù)．
答：第一次出現(xiàn)的$\frac{5}{6}$是第30個分?jǐn)?shù)．

（2）因為1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100；
那么第100個分?jǐn)?shù)是分母是10的分?jǐn)?shù)中的最后一個，是$\frac{10}{10}$；
答：第100個分?jǐn)?shù)是$\frac{10}{10}$．
故答案為：30，$\frac{10}{10}$．

點評 本題需要找出分?jǐn)?shù)個數(shù)與分母之間的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律．