Question

如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊，分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH，當(dāng)∠ADC=α（0°＜α＜90°）時(shí)，有以下結(jié)論：①∠GCF=180°-a；②∠HAE=90°+a；③HE=HG；④四邊形EFGH是正方形；⑤四邊形EFGH是菱形．則結(jié)論正確的是（　�。�

A．①④

B．②⑤

C．①③⑤

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根據(jù)等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，證△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)得出即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊，分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，
∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∴①錯(cuò)誤；②正確；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，

BF=AH=DH=CF ∠FBE=∠HAE=∠HDG=∠FCG BE=AE=DG=CG

，
∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），
∴∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE，
∴∠EFG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形，∴③④⑤正確；
即只有選項(xiàng)D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．