Question

如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG、PC．
（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想線段PG與PC之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，
（2）將題中的“正方形ABCD和正方形BEFG”變?yōu)椤傲庑蜛BCD和菱形BEFG”，其他條件不變．
①如圖2，若∠ABC=∠BEF=60°，試探究線段PG與PC之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；
②若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），請你直接寫出線段PG與PC之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（數(shù)量關(guān)系用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）延長GP交CD于H，根據(jù)中點的定義可得DP=FP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，然后利用“角角邊”證明△PDH和△PFG全等，根據(jù)全等三角形的可得PH=PG，DH=FG，然后求出CH=CG，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
（2）①延長GP交CD于H，與（1）同理求出PH=PG，CH=CG，然后求出△CGH是等腰三角形，然后根據(jù)菱形的鄰角互補求出∠BCD=120°，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠CGP=30°，根據(jù)等腰三角形三線合一可得PG⊥PC，再解直角三角形即可得到PC=

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PG；
②根據(jù)菱形的鄰角互補求出∠BCD=180°-2a，與①同理求出△CGH是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠CGP=α，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PG⊥PC，再解直角三角形即可得到PC=PGtanα．

解答：解：（1）PG⊥PC，PG=PC．
理由如下：如圖1，延長GP交CD于H，
∵P是線段DF的中點，
∴DP=FP，
∵正方形ABCD和正方形BEFG的點A、B、E在同一條直線上，
∴DC∥AE∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠PHD=∠PGF，
∵在△PDH和△PFG中，

∠PDH=∠PFG ∠PHD=∠PGF DP=FP

∴△PDH≌△PFG（AAS），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，BC=CD，
∴CH=CG，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）①如圖，延長GP交CD于H，與（1）同理可得PH=PG，CH=CG，
∴△CGH是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=120°，
∴∠CGP=

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（180°-120°）=30°，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG•tan∠CGP=PG•tan30°=

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PG，
故，PG⊥PC，PC=

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PG；
②∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠BCD=180°-2α，
∵△CGH是等腰三角形，
∴∠CGP=

1

2

[180°-（180°-2α）]=α，
又∵PH=PG，
∴PG⊥PC，
PC=PG•tan∠CGP=PG•tanα，
故PG⊥PC，PC=PG•tanα．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，每一小題的求解思路基本相同是此類題目的最大特點．