Question

15．如圖，PA切⊙O于點A，PO及其延長線交⊙O于B、C兩點，且點B是線段PO的中點．過A點作AD∥BC，交⊙O于點D，連接AB、OD、CD．
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）求證：四邊形ABOD是菱形；
（3）若⊙O的半徑等于1，求四邊形APCD的周長．

Answer 1

分析 （1）連接AO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，由點B是線段PO的中點，得到PB=OB，得到OP=2OA，由于OP=2AB，推出△ABO是等邊三角形，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知∠AOB=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OAD=60°，證得△ADO是等邊三角形，由于△ABO是等邊三角形，于是得到AB=OB=OD=DA，即可得到結(jié)論；（3）由（1）知∠AOB=∠AOD=60°，于是得到∠COD=60°，由于OC=OD，推出△COD是等邊三角形根據(jù)勾股定理得到PA=$\sqrt{P{O}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，幾款得到結(jié)果．

解答 解：（1）連接AO，
∵PA切⊙O于點A，
∴∠PAO=90°，
∵點B是線段PO的中點，
∴PB=OB，
∴OP=2OA，∵OP=2AB，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，∴∠P=30°；

（2）由（1）知∠AOB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=60°，
∵OA=OD，
∴△ADO是等邊三角形，
∵△ABO是等邊三角形，
∴AB=OB=OD=DA，
∴四邊形ABOD是菱形；

（3）由（1）知∠AOB=∠AOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等邊三角形，
∵⊙O的半徑等于1，
∴OP=2，AO=OC=CD=DA=1，
∴PA=$\sqrt{P{O}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴四邊形APCD的周長=PC+CD+DA+AP=5$+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，連接OA，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．