Question

20．已知四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在射線AB、射線BC上，AE=BF，DE與AF交于點O．

（1）如圖1，當(dāng)點E、F分別在線段AB、BC上時，則線段DE與線段AF的數(shù)量關(guān)系是DE=AF，位置關(guān)系是DE⊥AF．
（2）將線段AE沿AF進行平移至FG，連結(jié)DG．
①如圖2，當(dāng)點E在AB延長線上時，補全圖形，寫出AD，AE，DG之間的數(shù)量關(guān)系．
②若DG=5$\sqrt{2}$，BE=1，直接寫出AD長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形FAEG是平行四邊形，得到AF=EG，根據(jù)勾股定理得到DE²=AD²+AE²，證明△DAE≌△ABF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
②代入數(shù)據(jù)計算即可．

解答 解：（1）在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAE=∠ABF=90°}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，
∴DE⊥AF，
故答案為：DE=AF；DE⊥AF；
（2）①DG²=2AD²+2AE²．
由題意得，AE=FG，AE∥FG，
∴四邊形FAEG是平行四邊形，
∴AF=EG，
由勾股定理得，DE²=AD²+AE²，
在△DAE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAE=∠ABF=90°}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ABF，
∴DE=AF，DE⊥AF，
∴DE=EG，DE⊥EG，
∴DG²=2DE²，
∴DG²=2AD²+2AE²．
②由①得，（5$\sqrt{2}$）²=2×AD²+2（AD+1）²，
解得，AD₁=3，AD₂=-4（舍去），
答：AD長為3．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、平移變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的四個角是直角、四條邊都相等是解題的關(guān)鍵，解答時注意全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理的靈活運用．