Question

【題目】如圖，以邊為直徑的⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn),是⊙上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，且，.

（1）試判斷與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）是⊙的切線(xiàn).證明見(jiàn)解析；（2）8.

【解析】

試題（1）連結(jié)OP，根據(jù)圓周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后計(jì)算出∠PAD和∠D的度數(shù)，進(jìn)而可得∠OPD=90°，從而證明PD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）連結(jié)BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC長(zhǎng)，再證明△CAE∽△CPA，進(jìn)而可得，然后可得CECP的值．

試題解析：（1）如圖，是⊙的切線(xiàn).證明如下：

連結(jié)OP，

∵∠ACP=60°，

∴∠AOP=120°，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA=30°，

∵PA=PD，

∴∠PAO=∠D=30°，

∴∠OPD=90°，

∴PD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連結(jié)BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵C為弧AB的中點(diǎn)，

∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，

∵AB=4，AC＝ABsin45°＝2．

∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，

∴△CAE∽△CPA，

∴，

∴CPCE=CA2=（2）2=8．