Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm。

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。

（2）能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形。

當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。

∴當(dāng)t=10時(shí)，AEFD是菱形。

（3）若△DEF為直角三角形，有兩種情況：

①如圖1，∠EDF=90°，DE∥BC，

則AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。

②如圖2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

則AE=2AD，即2t =2×60-4t，解得：t=12。

綜上所述，當(dāng)t=或12時(shí)，△DEF為直角三角形

【解析】

試題（1）利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，即可證明。

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值。

（3）△DEF為直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°兩種情況討論。