Question

12．如圖，拋物線y=ax²+3ax-4a（a≠0）交x軸于A，B（A左B右）兩點，點C任線段OA上，且AC：BC=1：4．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）過C點作x軸垂線交于拋物線于點D，直線OD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，在直線CD上是否存在點P，使得△OPD為等腰三角形？如果存在，請求出滿足條件的P點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出點A，B坐標(biāo)，計算線段AB長度，根據(jù)AC：BC=1：4，可求OC長度為3，即可確定點C坐標(biāo)；
（2）先求出點D坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求解即可；
（3）分OP=OD，DP=OD，OP=DP，分別求解即可．

解答 解：如圖1

（1）拋物線y=ax²+3ax-4a，
當(dāng)y=0時，ax²+3ax-4a=0，
解得：x=-4，或x=1，
∴A（-4，0），B（1，0），
∴AC=5，
由AC：BC=1：4，
解得：AC=1，OC=3，
∴C（-3，0），
（2）如圖2

把x=-3代入y=$\frac{4}{3}x$，得，y=-4，
∴D（-3，-4），
代入拋物線y=ax²+3ax-4a得，
a=1，
所以拋物線解析式為：y=x²+3x-4，
（3）如圖3

在直角三角形OCD 中，OC=3，CD=4，可求OD=5，cos∠CDO=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)OP=OD時，CP=CD=4，此時點P坐標(biāo)為（-3，4），
當(dāng)OD=DP=5時，若點P在點D上方，-4+5=1，點P坐標(biāo)為（-3，1），
若點P在點D下方，-4-5=-9，點P坐標(biāo)為（-3，-9），
當(dāng)OP=DP時，由OD=5，cos∠CDO=$\frac{4}{5}$，可求，DP=$\frac{25}{8}$，
-4+$\frac{25}{8}$=$-\frac{7}{8}$，此時點P坐標(biāo)為（-3，$-\frac{7}{8}$）．
綜上所述，滿足條件的P點坐標(biāo)有：（-3，4），（-3，1），（-3，-9），（-3，$-\frac{7}{8}$）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)綜合問題，會求拋物線與坐標(biāo)軸的交點，會用點求解析式，會分類討論等腰三角形進行求點是解題的關(guān)鍵．