Question

3．如圖，以邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對(duì)角線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與直線AB只有一個(gè)個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）若點(diǎn)P為（2）中拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMC成為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）過(guò)點(diǎn)D的直線y=mx+1與拋物線y=x²+bx+c交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是e和f，其中e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B，C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB即可；
（2）根據(jù)一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)△=0，即可求解；
（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示兩條直角邊，根據(jù)等腰直角三角形列出方程即可；
（4）求出當(dāng)橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，和3時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意分析列出不等式求解即可．

解答 解：如圖1

（1）由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，可求：AC=BD=2，0A=OB=OC=OD=1，
∴A（-1，0），B（0，-1），C（1，0），D（0，1），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+p，把A（-1，0），B（0，-1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+p}\\{-1=p}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{p=-1}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為：y=-x-1；
（2）把B（0，1）代入拋物線y=x²+bx+c得，c=-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}+bx-1}\end{array}\right.$，
得：x²+（b+1）x=0，
當(dāng)△=（b+1）²=0時(shí)，
解得：b=-1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-1；
（3）如圖2

設(shè)點(diǎn)P（m，m²-m-1），
由題意可得：|m²-m-1|=|m-1|
所以有：m²-m-1=m-1，或m²-m-1=-m+1，
解得：m=2，或m=0，或m=$\sqrt{2}$或m=$-\sqrt{2}$，
此時(shí)：m²-m-1的對(duì)應(yīng)的值為：1，-1，$-\sqrt{2}+1$，$\sqrt{2}+1$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（0，-1），（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}+1$），（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$），
（4）由過(guò)點(diǎn)D的直線y=mx+1與拋物線y=x²-x-1點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是e和f，
當(dāng)x=3時(shí)，y=x²-x-1=5，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=x²-x-1=-$\frac{1}{4}$，
由e＜-$\frac{1}{2}$，f＞3，得：$-\frac{1}{2}$m+1＞-$\frac{1}{4}$，3m+1＞5，
解得：$\frac{4}{3}＜m＜\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，熟悉正方形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式，知道等腰直角三角形的性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用列方程求解是解題的關(guān)鍵．