Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=5，PB=12，PC=13，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離及∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，
∴△AP′P為等邊三角形，
∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，
在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，
∴PP′2+BP2=BP′2 ，
∴△BPP′為直角三角形，∠BPP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．
答：點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為5，∠APB的度數(shù)為150°．

【解析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，于是可判斷△AP′P為等邊三角形，得到PP′=AP=5，∠APP′=60°，接著根據(jù)勾股定理的逆定理證明△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°，然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的逆定理的相關(guān)知識，掌握如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，以及對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，了解①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．