Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=2，∠AOB=1200．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1） .

（2）150°.

（3）C的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）.

【解析】

（1）應(yīng)用三角函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將A，B的坐標(biāo)代入，即可求得a、b，從而求得拋物線的表達(dá)式.

（2）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得，進(jìn)而求得∠AOM的大小.

（3）由于可得，根據(jù)相似三角形的判定，分，兩種情況討論.

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）.

∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=.

∴A（－1，）.

將A（－1，），B（2，0）代入，得：

，解得.

∴這條拋物線的表達(dá)式為.

（2）過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，

∵

∴M（1，），即OE=1，EM= .

∴.∴.

∴∠AOM=∠AOB+∠EPM=150°.

（3）過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H ，

∵AH=，HB=HO＋OB=3，

∴tan∠ABH==

∴∠ABH=30°,∠ABC=150°,

∴∠AOM=∠ABC.

∴要△ABC與△AOM相似，則必須：

①，或②.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，0），則根據(jù)坐標(biāo)和勾股定理，有

AO=2，OM=，BC=c-2，AB=.

①由得，，解得.∴C1（4，0）.

②由得，，解得c=8.∴C2（8，0）.

綜上所述，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）.