Question

如圖（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠o）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖（2）T是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，若△DNM∽△BMD，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）如圖（3），過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線相交于E，且E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，與y軸交于點(diǎn)F；直線PQ是拋物線的對(duì)稱軸，G是直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，試探究在x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先設(shè)M的坐標(biāo)為（m，0），求得BD與DM的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可求得答案；
（3）作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴BD=

32+32

=3

2

．
設(shè)M（m，0），則DM=

32+m2

．
∵M(jìn)N∥BD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

，即

MN

3 2

=

1+m

4

，
∴MN=

3 2

4

（1+m）．
∵△DNM∽△BMD，
∴

DM

BD

=

MN

DM

，即DM²=BD•MN，
∴9+m²=3

2

×

3 2

4

（1+m），
解得：m=

3

2

或m=3（舍去）．
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，y=-（

3

2

-1）²+4=

15

4

．
故所求點(diǎn)T的坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）；

（3）在x軸上存在一點(diǎn)H，能夠使D、G、H、F四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小．理由如下：
∵y=-x²+2x+3，對(duì)稱軸方程為：x=1，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=-4+4+3=3，
∴點(diǎn)E（2，3）．
∴設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+n，
∴

-k+n=0 2k+n=3

，解得

k=1 n=1

，
∴直線AE的解析式為：y=x+1，
∴點(diǎn)F（0，1），
∵D（0，3），
∴D與E關(guān)于x=1對(duì)稱，
作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，則四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最�。�
設(shè)直線EF′的解析式為：y=px+q，
∴

q=-1 2p+q=3

，解得：

p=2 q=-1

，
∴直線EF′的解析式為：y=2x-1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，2x-1=0，得x=

1

2

，即H（

1

2

，0），
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，即G（1，1）；
∴DF=2，F(xiàn)H=F′H=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，DG=

12+22

=

5

，
∴使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：DF+FH+GH+DG=2+

5

2

+

5

2

+

5

=2+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例定理，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．