Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線PD交直線BC于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)PA=1時(shí)，求CE的長；

（2）如果點(diǎn)P在邊AB的上，當(dāng)⊙P與以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑的⊙C內(nèi)切時(shí)，求⊙P的半徑；

（3）設(shè)線段BE的中點(diǎn)為Q，射線PQ與⊙P相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PE∥CF時(shí)，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：(1)作PH⊥AC，垂足為H，由垂徑定理可得AH=DH，由cosB= BC=3，可得AB=5，AC=4，再由PH∥BC，可得，代入數(shù)據(jù)求得PH= ，即可求得，由，代入數(shù)據(jù)求得CE的長即可；（2）當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，點(diǎn)C在⊙P內(nèi)，可得點(diǎn)D在AC的延長線上，過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為G，設(shè)PA=，則，，，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)可得，解得，因⊙P與⊙C內(nèi)切,即可得，所以，即，解得，（舍去），即當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，⊙P的半徑為；（3）先證明四邊形PDCF是平行四邊形，可得PF=CD，再分當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的上和當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的延長線上兩種情況求AP的長.

試題解析：

（1）作PH⊥AC，垂足為H，∵PH過圓心，∴AH=DH

∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4

∵PH∥BC，∴，∴，∴

∴

∴DC=，又∵，∴，∴

（2）當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，點(diǎn)C在⊙P內(nèi)，∴點(diǎn)D在AC的延長線上

過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為G，設(shè)PA=，則，

，，∵，，…（1分）

∵⊙P與⊙C內(nèi)切,∴

∴

∴,∴，（舍去）

∴當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，⊙P的半徑為．

（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∠A=∠PDA，

∴∠ABC=∠PEC

∵∠ABC=∠EBP，

∴∠PEC=∠EBP，

∴PB=PE

∵點(diǎn)Q為線段BE的中點(diǎn)，

∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC

∴當(dāng)PE∥CF時(shí)，四邊形PDCF是平行四邊形，∴PF=CD

當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的上時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)P在邊AB的延長線上時(shí)，，

綜上所述，當(dāng)PE∥CF時(shí)，AP的長為或．