Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（1，0），B（0， ）分別在x軸和y軸上，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°.

（1）求直線AB的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P（m， ）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，使得△APB與△ABC面積相等，求m的值.

Answer 1

【答案】(1)y=x+，點(diǎn)C(2， )；(2)m=或.

【解析】試題分析：

(1) 根據(jù)一次函數(shù)的一般形式，利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可以獲得關(guān)于一般形式中待定系數(shù)的方程，求解這些方程即可確定直線AB的解析式. 要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，可以過點(diǎn)C作x軸的垂線CD，只要求得線段OD和CD的長(zhǎng)即可. 由于已知線段OA的長(zhǎng)，所以實(shí)際上只需要獲得線段AD和CD的長(zhǎng). 利用已知條件可以求得線段AB的長(zhǎng)和∠OAB的值，進(jìn)而可以得到線段AC的長(zhǎng)和∠CAD的值，利用Rt△CAD中的幾何關(guān)系即可求得線段AD和CD的長(zhǎng).

(2) 根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)的特征和線段OB的長(zhǎng)，可以確定點(diǎn)P在OB的垂直平分線上. 根據(jù)第(1)小題求得的線段長(zhǎng)度易知△ABC的面積，也就得到了△APB的面積. 利用OB的垂直平分線將△APB的面積分割為兩部分進(jìn)行計(jì)算，不難獲得△APB的面積與點(diǎn)P和線段AB的中點(diǎn)F的距離PF的關(guān)系式，進(jìn)而可以求得線段PF的長(zhǎng). 通過兩點(diǎn)之間距離的表達(dá)式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而獲得m的值.

試題解析：

(1)

如圖，過點(diǎn)C作CD⊥OA，垂足為D.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點(diǎn)A的坐標(biāo)(1, 0)與點(diǎn)B的坐標(biāo)(0, )代入該直線的解析式，得

，

解之，得

.

∴直線AB的解析式為.

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1, 0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, )，

∴OA=1，OB=，

∴在Rt△AOB中， .

∵在Rt△ABC，∠ABC=30°，

∴，

∵在Rt△ABC中，AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4，

∴AC=.

∵在Rt△AOB中， ，

∴∠OBA=30°，

∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠OBA=60°，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD=180°-∠BAC-∠OAB=180°-90°-60°=30°.

∴在Rt△CAD中， ，

，

∴OD=OA+AD=1+1=2.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2, ).

(2)

如圖，作線段OB的垂直平分線MN，交OB于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F. 過點(diǎn)A作AE⊥MN，垂足為E.

∵OB=，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P在OB的垂直平分線MN上.

∵Rt△ABC的面積為，

∴△APB的面積為，即△AFP的面積與△BFP的面積之和為，

∴.

∵AE+BG=OB=，

∴，

∴.

∵點(diǎn)F在OB的垂直平分線MN上，

∴，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(， ).

∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(， )，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m， )，

∴，

∴或，

∴或，

即m的值為或.