Question

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD、A₁B₁C₁D₁是兩個邊長分別為5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A₁B₁C₁D₁可以繞中心O旋轉，正方形ABCD靜止不動．
（1）如圖1，當D、D₁、B₁、B四點共線時，四邊形DCC₁D₁的面積為

6

_；
（2）如圖2，當D、D₁、A₁三點共線時，請直接寫出

CD1

DD1

=

4

3

；
（3）在正方形A₁B₁C₁D₁繞中心O旋轉的過程中，直線CC₁與直線DD₁的位置關系是

CC₁⊥DD₁

，請借助圖3證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出四邊形DCC₁D₁是等腰梯形，利用梯形的面積公式求出即可；
（2）由題意得出△AA₁D≌△DD₁C，即可得出DD₁=CC₁，進而利用勾股定理得出答案；
（3）根據(jù)題意得出△COC₁≌△DOD₁（SAS），進而得出∠ODD₁=∠OCC₁，即可得出∠CMD=90°得出答案即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD、A₁B₁C₁D₁是兩個邊長分別為5和1且中心重合的正方形，
∴當D、D₁、B₁、B四點共線時，四邊形DCC₁D₁的高為（5-1）÷2=2，
∴S四邊形DCC1D1=

1

2

×(1+5)×2=6；
故答案為：6；

（2）∵∠CDD₁+∠ADA₁=90°，∠D₁DC+∠DCD₁=90°，
∴∠DCD₁=∠ADA₁，
在△ADA₁和△DCD₁中，

∠DD1C=∠AA1D ∠D1CD=∠ADA1 CD=AD

，
∴△ADA₁≌△DCD₁（AAS），
∴DD₁=CC₁，
設DD₁=CC₁=x，
∴CD₁=x+1，
∴x²+（x+1）²=5²，
解得：x=3，
∴CD₁=4，
∴

CD1

DD1

=

4

3

；
故答案為：

4

3

；         

（3）CC₁⊥DD₁
證明：連接CO，DO，C₁O，D₁O，
延長CC₁交DD₁于M點．如圖3所示：
由正方形的性質可知：CO=DO，C₁O=D₁O，∠COD=∠C₁OD₁=90°，
∴∠COD-∠C₁OD=∠C₁OD₁-∠C₁OD，
即：∠COC₁=∠DOD₁
在△COC₁和△DOD₁中，

OC1=OD1 ∠COC1=∠DOD1 CO=DO

，
∴△COC₁≌△DOD₁（SAS），
∴∠ODD₁=∠OCC₁
∵∠C₁CD+∠OCC₁+∠CDO=90°，
∴∠C₁CD+∠ODD₁+∠CDO=90°，
∴∠CMD=90°
即：CC₁⊥DD₁．
故答案為：CC₁⊥DD₁．

點評：此題主要考查了四邊形綜合應用以及正方形的性質和全等三角形的判定與性質等知識，根據(jù)全等三角形的判定與性質得出△COC₁≌△DOD₁是解題關鍵．