Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1），拋物線C2：y＝2x2+x+1，動直線x＝t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線C1與y軸交于點P，點M在y軸右側(cè)的拋物線C2上，連接AM交y軸于點K，連接KN，在平面內(nèi)有一點Q，連接KQ和QN，當(dāng)KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP時，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）t的值為1或0；（3）滿足條件的Q點坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)圖形分∠ANM=90°和∠AMN=90°兩種情況解答即可；

（3）根據(jù)題意畫出滿足條件圖形，可以找到AN為△KNP對稱軸，由對稱性找到第一個滿足條件Q，再通過延長和圓的對稱性找到剩余三個點，利用勾股定理進行計算．

（1）∵拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1）

∴

解得：

∴拋物線C1：解析式為y＝x2+x﹣1

（2）∵動直線x＝t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M

∴點N的縱坐標(biāo)為t2+t﹣1，點M的縱坐標(biāo)為2t2+t+1

∴MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2

①當(dāng)∠ANM＝90°，AN＝MN時，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）

∴AN＝t﹣（﹣2）＝t+2

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0（舍去），t2＝1

∴t＝1

②當(dāng)∠AMN＝90°，AM＝MN時，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）

∴AM＝t﹣（﹣2）＝t+2，

∵MN＝t2+2

∴t2+2＝t+2

∴t1＝0，t2＝1（舍去）

∴t＝0

故t的值為1或0；

（3）由（2）可知t＝1時M位于y軸右側(cè)，根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點共線

∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1）

∴點K、P關(guān)于直線AN對稱

設(shè)半徑為1的⊙K與y軸下方交點為Q2，則其坐標(biāo)為（0，2）

∴Q2與點O關(guān)于直線AN對稱

∴Q2是滿足條件∠KNQ＝∠BNP．

則NQ2延長線與⊙K交點Q1，Q1、Q2關(guān)于KN的對稱點Q3、Q4也滿足∠KNQ＝∠BNP．

由圖形易得Q1（﹣1，3）

設(shè)點Q3坐標(biāo)為（m，n），由對稱性可知Q3N＝NQ1＝BN＝，

∵⊙K半徑為1

∴

解得 或．

同理，設(shè)點Q4坐標(biāo)為（m，n），由對稱性可知Q4N＝NQ2＝NO＝，

∴

解得 或．

∴滿足條件的Q點坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）．