Question

16．探究：如圖①，在正方形ABCD中，點E在邊BC上（點E不與點B、C重合），連結AE，過點E作AE⊥EF，EF交邊CD于點F，求證：△ABE≌△ECF．
拓展：如圖②，△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上（點D不與點B、C重合），連結AD，以AD為邊作∠ADE=∠ABC，DE交邊AC于點E，若AB=3，BD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質和已知條件證明∠BAE=∠FEC，即可證明：△ABE∽△ECF；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠B=∠C=60°，于是得到∠BAD+∠ADB=120°，根據(jù)已知條件得到∠ADB+∠CDE=120°，等量代換得到∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE，由相似三角形的性質得到$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，代入數(shù)據(jù)即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
∵AB=3，BD=x，CE=y，
∴$\frac{3}{3-x}=\frac{x}{y}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+x．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，等邊三角形的性質，求二次函數(shù)的解析式，證得△ABD∽△DCE是解題的關鍵．