Question

（1）請觀察：25=5²，1225=35²，112225=335²，1122225=3335²…寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明．
（2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑選另外兩個類似26、53的數，使它們能表示成兩個平方數的和，把這兩個數相乘，乘積仍然是兩個平方數的和嗎？你能說出其中的道理嗎？
注：有人稱這樣的數“不變心的數”．數學中有許多美妙的數，通過分析，可發(fā)現其中的奧秘．
瑞士數學家歐拉曾對26（2）的性質作了更進一步的推廣．他指出：可以表示為四個平方數之和的甲、乙兩數相乘，其乘積仍然可以表示為四個平方數之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．這就是著名的歐拉恒等式．

Answer 1

解：（1）經觀察，發(fā)現規(guī)律：11…1（n-1個）；22…25（n個）；（33…3 5）²（n-1個3），
∴（33…3 5）²=（33…3+2）²=（×99…9+2）²，
=[（10n-1）+2]²=（）²=++
=++=11…1+11…1+3
=11…1 22…25（n-1個1，n個2）；

（2）一般地，設m=a²+b²，n=c²+d²，
則mn=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²=a²c²+b²d²+2abcd+b²c²-2abcd+a²d²=（ac+bd）²+（bc-ad）²
或（ac-bd）²+（bc+ad）²．
分析：（1）由題意已知25=5²，1225=35²，112225=335²，1122225=3335²，從中發(fā)現規(guī)律11…1（n-1個）；22…25（n個）；（33…3 5）²（n-1個3），利用完全平方式的性質進行證明；
（2）由題意可設m=a²+b²，n=c²+d²，求出mn的成績，從而發(fā)現規(guī)律．
點評：此題考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于觀察發(fā)現規(guī)律，此題難度較大．