Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，分別沿AC、AB向C、B作勻速運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為

3

cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s，當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時，P、Q都停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts．
（1）當(dāng)P異于A、C時，判斷PQ與BC的之間的位置關(guān)系，說明理由．
（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，則在整個運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC相切？

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，根據(jù)菱形的對角線互相垂直，利用三角函數(shù)即可利用t把AP，AO，AQ，AB，AC表示出來，證明△PAQ∽△CAB，證得∠APQ=∠ACB，從而證明PQ∥BC；
（2），⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC，在直角△PCM中利用三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）如圖1，連接BD交AC于O
∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2，
∴AB=BC=2，∠BAC=

1

2

∠DAB，AC⊥BD，OA=

1

2

AC
又∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠BCA=30°
∴OB=

1

2

AB=1，
∴OA=

3

，AC=2OA=2

3

運(yùn)動ts后，AP=

3

t，AQ=t，
∴

AP

AQ

=

AC

AB

=

3

又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB．
∴∠APQ=∠ACB
∴PQ∥BC；

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，
∴PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t
由PM=PQ=AQ=t，即

3

-

3

2

t=t
解得t=4

3

-6
所以當(dāng)t=4

3

-6時，圓O與BC相切．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切線的性質(zhì)和三角函數(shù)，正確證明△PAQ∽△CAB是關(guān)鍵．