Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個(gè)單位，再沿y軸方向平移k個(gè)單位，若所得拋物線與x軸交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），且使△ACD∽△AEC（頂點(diǎn)A、C、D依次對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)A、E、C），試求k的值，并注明方向．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵C（4，6），

∴6=a（4﹣1）（4﹣3），

∴a=2，

∴拋物線的解析式為y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6

（2）

解：如圖，

設(shè)點(diǎn)D（m，0），E（n，0），

∵A（1，0），

∴AD=m﹣1，AE=n﹣1

由（1）知，拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；

∴將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個(gè)單位，得到拋物線的解析式為y=2（x﹣8）2﹣2；

∴再沿y軸方向平移k個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；

令y=0，則2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，

∴2x2﹣32x+126﹣k=0，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，

∴m+n=16，mn=63﹣ ，

∵A（1，0），C（4，6），

∴AC2=（4﹣1）2+62=45，

∵△ACD∽△AEC，

∴ ，

∴AC2=ADAE，

∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，

∴45=63﹣ ﹣16+1，

∴k=6，

即：k=6，向下平移6個(gè)單位．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線的解析式；（2）設(shè)出D，E坐標(biāo)，根據(jù)平移，用k表示出平移后的拋物線解析式，利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)得出m+n=16，mn=63﹣ ，進(jìn)而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上; a<0時(shí)，拋物線開口向下b與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）才能得出正確答案．