Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°、動點P、Q同時從點A出發(fā)，其中點P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；點Q以的速度，沿A→C的路線向點C運動．當P、Q到達終點C時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．
（1）直接填空：AP=______cm，AQ=______cm（用含t的代數(shù)式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若點Q關于菱形ABCD的對角線交點O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N．
①當t為何值時，PM+MN的值最�。�
②當t為何值時，△PQM的面積S有最大值，此時最大值是多少？

Answer 1

解：（1）4t，

（2）①當點P、M、N在同一直線上時，PM+MN的值最小．
如圖，在Rt△APM中，易知，
又∵，．
由AQ+QM=AM得：，
解得．
∴當時，PM+MN的值最�。�…
②如圖1，若0＜t≤5時，則AP=4t，．
則，
又∵，AB=20，
∴．
∴．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
，
當時，S有最大值．
②若5＜t≤10時，則CP=40-4t，PQ=20-2t，．
則，
又∵，CB=20，
∴．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥AC，
當時，S有最大值．
綜上，當或時，S的最大值都是．
分析：（1）根據(jù)點P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點C運動；點Q以的速度，沿A→C的路線向點C運動，于是在時間t內即可求出兩點運動的位移，即可求出AP和AQ的長度．
（2）①當點P、M、N在同一直線上時，PM+MN的值最小，根據(jù)AQ+QM=AM即可求出t的值，如圖1，若0＜t≤5時，則AP=4t，，根據(jù)三角形相似證明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面積S的最大值，同理求出當5＜t≤10時，△PQM的面積S的最大值．
點評：本題主要考查相似三角形的性質與判定、三角函數(shù)的最值等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質，此題是一道綜合性比較強的習題，難度有點大．