Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)B在第一象限，AB平行于x軸且AB=5.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______.

(2)如圖1，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得△AOC與△BOD相似？

(3)如圖2，將△AOB折疊，使得點(diǎn)A剛好落在O處，此時(shí)折痕交AB于點(diǎn)D，交AO于點(diǎn)E，在直線AO上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），且線段PQ=，求四邊形BDPQ的周長最小值.

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；（2）存在，D（1，0）或（5，0）；（3）周長最小值為

【解析】

(1)由AB//x軸可得點(diǎn)B縱坐標(biāo)，根據(jù)AB=5可求出得B橫坐標(biāo)，即可得到答案；（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出OA、OB的長，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，當(dāng)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸時(shí)，∠BOD>90°，不能與Rt△AOC相似；當(dāng)點(diǎn)D在x軸正半軸時(shí)，根據(jù)同角的余角相等可得∠CAO=∠DOB，分別討論∠OBD=90°和∠ODB=90°兩種情況，求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可；（3）由折疊性質(zhì)可得DE⊥OA，OE=OA=，由OB⊥OA可得DE//BO，DE和OB是DP和BQ的最小值，由點(diǎn)E是OA中點(diǎn)DE是△AOB的中位線，可得BD=AB，DE=OB，進(jìn)而求出四邊形DEOB的周長即可得答案.

（1）∵AB//x軸，A（-4，2），

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，

∵AB=5，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4+5=1，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，2）.

故答案為：（1，2）

（2）∵A（-4，2），B（1，2），

∴OA=2，OB=，

∵AB2=25，OA2=20，OB2=5，

∴AB2=OA2+OB2，

∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，

當(dāng)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸時(shí)，∠BOD>90°，不能與Rt△AOC相似；

當(dāng)點(diǎn)D在x軸正半軸時(shí)，

∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠DOB，

如圖，當(dāng)∠OBD2=90°時(shí)，

∵∠D2OB=∠CAO，∠OBD2=∠ACO=90°，

∴△OBD2∽△ACO，

∴，即，

∴OD2=5，

∴D2（5，0）.

當(dāng)∠OD1B=90°時(shí)，

∵∠BOD1=∠CAO，∠OD1B=∠ACO=90°，

∴△BOD1∽△OAC，

∵∠OD1B=90°，B（1，2）

∴OD1=1，

∴D1（1，0）

綜上所述：存在點(diǎn)D，使得△AOC與△BOD相似，點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，0）或（5，0）.

（3）∵將△AOB折疊，使得點(diǎn)A剛好落在O處，此時(shí)折痕交AB于點(diǎn)D，交AO于點(diǎn)E，

∴DE⊥OA，AE=OE=OA=

∵∠AOB=90°，

∴DE//OB，

∴AD=BD=AB=，

∴DE是△AOB的中位線，

∴DE=OB=，

∵DE⊥OA，OB⊥OA，OE=，

∴DE和BO即是DP和BQ的最小值，

∴四邊形BDPQ的周長最小值為BD+DE+OE+OB=+++=.