Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點P是對角線AC上一點，連結(jié)BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=4，CQ=10，則正方形ABCD的面積為 ．

Answer 1

【答案】324

【解析】

試題分析：作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，利用正方形的性質(zhì)和角平分線上的點到角的兩邊相等以及已知條件即可證明△BPM≌△QPN，得出BM=QN，設(shè)BM=x，則NF=x，PM=CM=CN=10+x，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到關(guān)于x的比例式，求出x的值，即可求出正方形的邊長，進(jìn)而求出其面積．

解：作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC平分∠BCD，

∴PM=PN，∠NEM=90°，

∴四邊形PMCN為正方形，∵PQ⊥BP，∴∠BPQ=90°，

∴∠BPM=∠NPQ，

在△BPM和△QPN中，，

∴△BPM≌△QPN（AAS），

∴BM=QN；

設(shè)BM=x，則NF=x，

∴PM=CM=CN=10+x，

∴CP=（10+x），

∵PM∥AB，

∴，即，

解得：x=4或x=﹣10（舍），

∴BM=4，CM=14，

∴BC=BM+CM=18，

∴正方形ABCD的面積為：18×18=324．

故答案為：324．