Question

5．如圖（1）四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，點E在CD的延長線上，∠BAC=∠DAE．
（1）試說明：△ABC≌△ADE；
（2）試說明CA平分∠BCD；
（3）如圖（2），過點A作AM⊥CE，垂足為M，試說明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的判定定理ASA即可證得；
（2）通過三角形全等得AC=AE，∠BCA=∠E，進而根據(jù)等邊對等角求得∠ACD=∠E，從而求得∠BCA=∠E=∠ACD即可證得；
（3）通過三角形全等得AC=AE，∠CAE=90°，即△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)三線合一可得△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，進而得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：如圖，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）證明：如圖，∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，且∠BCA=∠E
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∵DA⊥AB，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠CAD=90°，∠CAE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AM⊥CE，
∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．