Question

【題目】己知：為等邊三角形，點E為射線AC上一點，點D為射線CB上一點，．

(1)如圖1，當E在AC的延長線上且時，AD是的中線嗎？請說明理由；

(2)如圖2，當E在AC的延長線上時，等于AE嗎？請說明理由;

(3)如圖3，當D在線段CB的延長線上，E在線段AC上時，請直接寫出AB、BD、AE的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】(1)是，理由見解析；(2)，理由見解析；(3).

【解析】

(1)由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠ACD=60°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠CDE=∠E，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠E=30°，繼而可得 ∠DAC=∠E=30°，得出AD平分∠BAC，由此即可得AD是△ABC的中線；

(2)在AB上取BH=BD，連接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，

(3)在AB上取AF=AE，連接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的關系，得出△BDF是等腰三角形，根據(jù)邊的關系得出結(jié)論AB-BD=AE．

(1)是，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACD=∠E+∠CDE，

∴∠E=30°，

∵AD=DE，

∴∠DAC=∠E=30°，

∴∠DAC=∠BAC，

即AD平分∠BAC，

∴AD是△ABC的中線；

(2)，理由如下：

如圖2，在AB上取BH=BD，連接DH，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，

∴∠DCE=120°，△BDH是等邊三角形，

∴DH=BD，∠DHB=60°，

∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，

∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，

∵AD=DE，

∴∠E=∠DAC，

∵DH//AC，

∴∠HAD=∠DAC，

∴∠HAD=∠E，

∴△ADH≌△DEC，

∴DH=CE，

∴CE=BD，

∴AB+BD=AC+CE=AE；

(3)AE=AB-BD，理由如下：

如圖3，在AB上取AF=AE，連接DF，EF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，

∴∠AFE=∠ABC，

∴EF//BC，

∴∠FED=∠EDB，

∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，

∴△ADF≌△EDF，

∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，

∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，

∴∠DFB=∠FDB，

∴BD=BF，

∵AB-BF=AF，

∴AB-BD=AE.