Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(4，0)，點B(0，3)，點P從點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連結PQ．若設運動的時間為t秒(0＜t＜2)．

(1)求直線AB的解析式；

(2)設△AQP的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；

(3)是否存在某一時刻，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由；

(4)連結PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

  設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴
解得，
∴直線AB的解析式是y=-x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB==5，
依題意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
過點P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴，
∴，
∴PM=3-t，
∴y=AQ•PM=•2t•（3-t）=-t²+3t．


解得t=1．
若PQ把△AOB面積平分，則S_△APQ=S_△AOB，
∴-t²+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一時刻t，使線段PQ把△AOB的周長和面積同時平分．

（4）存在某一時刻t，使四邊形PQP'O為菱形，
過點P作PN⊥BO于N，
若四邊形PQP′O是菱形，則有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴，
∴，
∴PN=t，
∴QM=OM=t，
∴t+t+2t=4，
∴t=，
∴當t=時，四邊形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=，
∴點Q的坐標是（，0）．
∵PM=3-t=，OM=t=，
在Rt△PMO中，PO===，
∴菱形PQP′O的邊長為．