Question

5．認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
（1）探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
（2）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．
（3）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（直接寫出結論）
（4）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關系？（直接寫出結論）．
（5）運用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=95度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的內角和定理整理即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義可得∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的外角性質以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內角和定理解答；
（4）同（2）的求解思路；
（5）同（3）的求解思路．

解答 解：（1）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC，∠ACB的角平分線，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探究2結論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一個外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）由三角形的外角性質和角平分線的定義，∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（4）∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）；

（5）∵∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，
∴∠BCD+∠CDE=（5-2）•180°-140°-120°-90°=190°，
∴∠PCD+∠PDC=$\frac{1}{2}$（180°×2-190°）=85°，
在△BOC中，∠BOC=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-85°=95°．

點評 本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖，整體思想的利用是解題的關鍵．