Question

5．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．
（1）探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（2）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
（3）探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（4）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）．
（5）運(yùn)用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=95度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；
（4）同（2）的求解思路；
（5）同（3）的求解思路．

解答 解：（1）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC，∠ACB的角平分線，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）探究2結(jié)論：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$∠A+∠1-∠1=$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（4）∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）；

（5）∵∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，
∴∠BCD+∠CDE=（5-2）•180°-140°-120°-90°=190°，
∴∠PCD+∠PDC=$\frac{1}{2}$（180°×2-190°）=85°，
在△BOC中，∠BOC=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-85°=95°．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．