在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說(shuō)明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)

【答案】分析:(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,根據(jù)四邊形ABCD是菱形,得出AC=2OA,BD=2OB,利用勾股定理,得OA2+OB2=AB2,再利用AB=BC,即可求證AC2+BD2=2(AB2+BC2).
(2)作AE⊥BC于點(diǎn)E,DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F,再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,求證△ABE≌△DCF,得出AE=DF,BE=CF,由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2
(3)延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,CE,則AE=2AD,求證四邊形ABEC是平行四邊形,由(2)的結(jié)論,得AE2+BC2=2(AB2+AC2),解得AD2=
解答:解:(1)如圖2,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC=2OA,BD=2OB.
在Rt△AOB中,由勾股定理,得
OA2+OB2=AB2,
∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4(OA2+OB2)=4AB2,
又∵AB=BC,
∴AC2+BD2=2(AB2+AB2)=2(AB2+BC2).

(2)小亮的猜想成立.
證明:作AE⊥BC于點(diǎn)E,DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F,
則∠AEB=∠DFC=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF,
∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2,
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2
又AE2+BE2=AB2,
故AC2+BD2=2(AB2+BC2).

(3)延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,CE,則AE=2AD.
∵BD=CD,
∴四邊形ABEC是平行四邊形.
由(2)的結(jié)論,得
AE2+BC2=2(AB2+AC2),
即(2AD)2+a2=2(b2+c2),
解得AD2=,
故AD=
點(diǎn)評(píng):此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理,矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)的理解和掌握,此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性很強(qiáng),有一定的拔高難度,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說(shuō)明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,A、B是直線a上的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)C、D在直線b上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),AB=CD=6cm,已知a∥b,連接AC、BD、BC,把△ABC沿BC折疊得△A1BC.
問(wèn)題1:當(dāng)A1、D兩點(diǎn)重合時(shí),則AC=
 
cm;
問(wèn)題2:當(dāng)A1、D兩點(diǎn)不重合時(shí),連接A1D,可探究發(fā)現(xiàn)A1D∥BC,
下面是小明的思考:
(1)將△ABC沿BC翻折,點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為A1,連接AA1交BC所在直線于點(diǎn)M,由軸對(duì)稱的性質(zhì),得AM=A1 M,這一關(guān)系在變化過(guò)程中保持不變;
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)是O,易知AO=DO,這一關(guān)系在變化過(guò)程中也保持不變.
請(qǐng)你借助于小明的思考,說(shuō)明AD1∥BC的理由;
問(wèn)題3:當(dāng)A1、D兩點(diǎn)不重合時(shí),若直線a、b間的距離為
5
cm,且以點(diǎn)A1、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,求AC的長(zhǎng).
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在探究矩形的性質(zhì)時(shí),小明得到了一個(gè)有趣的結(jié)論:矩形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在矩形ABCD中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,BD2=AB2+AD2,又CD=AB,AD=BC,所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2(AB2+BC2).
小亮對(duì)菱形進(jìn)行了探究,也得到了同樣的結(jié)論,于是小亮猜想:任意平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:
(1)如圖2,已知:四邊形ABCD是菱形,求證:AC2+BD2=2(AB2+BC2);
(2)你認(rèn)為小亮的猜想是否成立,如果成立,請(qǐng)利用圖3給出證明;如果不成立,請(qǐng)舉反例說(shuō)明;
(3)如圖4,在△ABC中,BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c,AD是BC邊上的中線.試求AD的長(zhǎng).(結(jié)果用a,b,c表示)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,A、B是直線上的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)C、D在直線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),AB=CD=6cm,已知//,連接AC、BD、BC,把沿BC折疊得.

問(wèn)題1:當(dāng)、D兩點(diǎn)重合時(shí),則AC=___________cm;

問(wèn)題2:當(dāng)、D兩點(diǎn)不重合時(shí),連接,可探究發(fā)現(xiàn),

       下面是小明的思考:

(1)將沿BC翻折,點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為,連接交BC所在直線于點(diǎn)M,由軸對(duì)稱的性質(zhì),得,這一關(guān)系在變化過(guò)程中保持不變.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊,設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)是O,易知,這一關(guān)系在變化過(guò)程中也保持不變。

請(qǐng)你借助于小明的思考,說(shuō)明的理由。

問(wèn)題3:當(dāng)、D兩點(diǎn)不重合時(shí),若直線間的距離為cm,且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,求AC的長(zhǎng)。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案