Question

【題目】已知，拋物線(xiàn)y=ax2+ax+b（a≠0）與直線(xiàn)y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b．

（1）求b與a的關(guān)系式和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；

（2）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N，求△DMN的面積與a的關(guān)系式；

（3）a=﹣1時(shí)，直線(xiàn)y=﹣2x與拋物線(xiàn)在第二象限交于點(diǎn)G，點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，現(xiàn)將線(xiàn)段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位（t＞0），若線(xiàn)段GH與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，試求t的取值范圍．

【答案】（1）b=﹣2a，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．

【解析】試題分析：（1）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得到b與a的關(guān)系，可用a表示出拋物線(xiàn)解析式，化為頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)代入直線(xiàn)解析式可先求得m的值，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，消去y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，可求得另一交點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)a<b，判斷a<0，確定D、M、N的位置，畫(huà)圖1，根據(jù)面積和可得的面積即可；
（3）先根據(jù)a的值確定拋物線(xiàn)的解析式，畫(huà)出圖2，先聯(lián)立方程組可求得當(dāng)GH與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的值，再確定當(dāng)線(xiàn)段一個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上時(shí)，t的值，可得：線(xiàn)段GH與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍．

試題解析：(1)∵拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0)，

∴a+a+b=0，即b=2a，

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(2)∵直線(xiàn)y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,0)，

∴0=2×1+m，解得m=2，

∴y=2x2，

則

得

∴(x1)(ax+2a2)=0,

解得x=1或

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為

∵a<b，即a<2a，

∴a<0，

如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交直線(xiàn)于點(diǎn)E，

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為

設(shè)△DMN的面積為S，

(3)當(dāng)a=1時(shí)，

拋物線(xiàn)的解析式為：

有

解得：

∴G(1,2)，

∵點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴H(1,2)，

設(shè)直線(xiàn)GH平移后的解析式為：y=2x+t，

x2x+2=2x+t，

x2x2+t=0，

△=14(t2)=0，

當(dāng)點(diǎn)H平移后落在拋物線(xiàn)上時(shí),坐標(biāo)為(1,0)，

把(1,0)代入y=2x+t，

t=2，

∴當(dāng)線(xiàn)段GH與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),t的取值范圍是

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上的一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，如果α=60°，β=120°；

如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，如果α=90°，β=90°

如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，如果α，β之間有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出．

（2）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)BC上，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)CB上，且在線(xiàn)段BC外，（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）α+β=180°；（2）（1）中結(jié)論是成立；（3）（1）中結(jié)論是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△ABE≌△ACD，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）α+β=180°．理由如下：

如圖③．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；

（2）（1）中結(jié)論是成立，理由如下：

如圖④，連接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；

（3）（1）中結(jié)論是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．理由如下：

如圖⑤，連接BE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD．在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACD=180°，∴∠BAC+∠ABC+∠ABE=∠BAC+∠CBE=180°，即：∠BAC+∠CBE=180°．