Question

中國，是擁有五千年歷史的古國，它具有十分豐富的文化傳承，其中京劇就是一門重要的藝術(shù)，常常受到外國友人的青睞．看到下面的京劇臉譜了嗎？其實它們可以看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，如果一條直線與此圖形只有一個交點，那么這條直線叫做它的切線．
如圖，點A、B、C、D分別是該圖形與坐標(biāo)軸的交點，已知點D的坐標(biāo)為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請你求出此圖形拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）x軸上有點E（-3，0），直線CE是此圖形的切線嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知圓的圓心和半徑求出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)D點坐標(biāo)求出拋物線解析式；
（2）求出CE解析式，并計算出M到直線CE的距離，與半徑進行比較．

解答：解：（1）由圓M可知A（-1，0）B（3，0）且拋物線的對稱軸為x=1
設(shè)拋物線的解析式為y=k（x-1）²+b（k≠0），
分別將A（-1，0）D（0，-3）代入
得二元一次方程組

4k+b=0 k+b=-3

解得：

k=1 b=-4

所以拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4（-1≤x≤3）；

（2）由圓M得，C（0，

3

），
由E（-3，0）的直線CE的解析式為y=-

3

3

x-3
則M到直線CE的距離為

|- 3 3 ×1-3|

( 3 3 )2+1

≠2，所以直線與圓不相切．

點評：本題考查了拋物線解析式的求法以及切線的判定．