Question

1．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請直接寫出線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系（不要求說明理由）；
（3）將（1）中的直線m繞點A旋轉(zhuǎn)，使其與BC邊相交，則結(jié)論DE=BD+CE是否還成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請寫出所有可能的結(jié)論，并在圖3中畫出相應的圖形．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；
（3）分成m⊥BC和m與AC的夾角小于45°，大于45°三種情況進行討論，第一種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷，第二種情況下與（1）相同利用全等三角形的性質(zhì)可得，第三種情況相同．

解答 （1）證明：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（2）解：成立，證明如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，
∴∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=DA，
∴DE=AE+DA=BD+CE；
（3）當m⊥BC時，根據(jù)D和E重合，則DE=0，BD=CE；
當m與AC的夾角小于45°時，如圖，
∵∠BAD+∠CAE=90°，直角△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∴△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC=90°}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，EC=AD，
又∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE；
同理，當m與AC的夾角大于45°，小于90°時，DE=CE-BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確分情況進行討論，證明三角形全等是關(guān)鍵．