Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，求的值；

（3）如圖2，將拋物線向下平移個(gè)單位長度得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.

①求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；

②若，求，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點(diǎn)的坐標(biāo)為；②.

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)解析式為y=ax2-2，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a的值，即可得答案；（2）設(shè)直線交軸點(diǎn)，可得B的坐標(biāo)為（0，4），可得AB的長，根據(jù)可得，聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而可得答案；（3）①根據(jù)平移的性質(zhì)可得拋物線C1的解析式，根據(jù)當(dāng)F在拋物線C1上，可得，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，令y=0，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；②作軸于點(diǎn)，根據(jù)E、F坐標(biāo)可得EH=FH，可得，根據(jù)∠FEO=2∠EFP及平行線的性質(zhì)可得∠FPO=∠EFP =22.5°，設(shè)交軸于點(diǎn)，可得PD=DF=OH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可用a表示出PD的長，OH=a，列方程求出可得a的值，把a代入即可求出m的值.

（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴設(shè)拋物線的解析式為，

把代入得：6=16a-2，

解得：，

∴拋物線的解析式為.

（2）設(shè)直線交軸點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)，

∴.

∵，

∴.

∴.

由得，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴．

（3）①依題意得拋物線的解析式為.

點(diǎn)在拋物線上，

∴，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

令，即.

∴，（舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

②作軸于點(diǎn)，

∵E（2-a，0），F（a，2a-2），

∴，

∴，

又，

∴，

∵FH//y軸，

∴∠FPO=∠PFH=22.5°，

∴∠FPO=∠EFP，

∴PD=FD，

設(shè)交軸于點(diǎn)，過D作DG⊥FH于G，則DG=OH，

∵∠EFH=45°，

∴，

∵∠FEH=45°，a>2,

∴OD=OE=a-2，

∴PD=a-2-=，

∵HO=a，

∴，

∴，（舍去），

∴.