Question

8．如圖，直線y=kx-4（k＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)R，與x，y軸的交點(diǎn)分別為P，Q；過R作RM⊥x軸，M為垂足，若△OPQ與△PRM的面積相等，則k的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分別將x=0、y=0代入一次函數(shù)解析式求出與之對(duì)應(yīng)的y、x值，由此即可得出點(diǎn)Q、P的坐標(biāo)，再根據(jù)RM⊥x軸結(jié)合公共角∠OPQ=∠MPR即可得出△OPQ∽△MPR，結(jié)合兩三角形面積相等即可得出△OPQ≌△MPR，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)R的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)解析式中即可得出關(guān)于k的分式方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，y=kx-4=-4，
∴點(diǎn)Q（0，-4）；
當(dāng)y=kx-4=0時(shí)，x=$\frac{4}{k}$，
∴點(diǎn)P（$\frac{4}{k}$，0）．
∵RM⊥x軸，
∴∠POQ=∠PMR=90°．
又∵∠OPQ=∠MPR，
∴△OPQ∽△MPR．
∵△OPQ與△PRM的面積相等，
∴△OPQ≌△MPR，
∴OP=MP，OQ=MR，
∴點(diǎn)R（$\frac{8}{k}$，4）．
∵點(diǎn)R在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$，解得：k=4$\sqrt{2}$或k=-4$\sqrt{2}$（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)，k=4$\sqrt{2}$是方程4=$\frac{k}{\frac{8}{k}}$的解．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)R的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．