Question

（2013•重慶）已知，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點，EF=7，連接AF．如圖1，現(xiàn)有一張硬質(zhì)紙片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上．如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ．當點N到達終點B時，△GMN和點P同時停止運動．設運動時間為t秒，解答下列問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；
（2）在整個運動過程中，是否存在點P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）在整個運動過程中，設△GMN與△AEF重疊部分的面積為S．請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，證明QEMG為平行四邊形，則運動路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分為三種情形，需要分類討論，避免漏解．如答圖2、答圖3、答圖4所示；
（3）整個運動過程分為四個階段，每個階段重疊圖形的形狀各不相同，如答圖5-答圖8所示，分別求出其面積的表達式．

解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由題意，易知點G的運動線路平行于BC．
如答圖1所示，過點G作BC的平行線，分別交AE、AF于點Q、R．

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四邊形QEMG為平行四邊形，
∴QG=EM=10．
∴t=

10

1

=10秒．

（2）存在符合條件的點P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
設∠AEB=θ，則sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=

4

5

t，AQ=AE-QE=20-

4

5

t．
△APQ是等腰三角形，有三種可能的情形：

①AP=PQ．如答圖2所示：
過點P作PK⊥AE于點K，則AK=AP•cosθ=

4

5

t．
∵AQ=2AK，∴20-

4

5

t=2×

4

5

t，
解得：t=

25

3

；
②AP=AQ．如答圖3所示：
有t=20-

4

5

t，
解得：t=

100

9

；
③AQ=PQ．如答圖4所示：
過點Q作QK⊥AP于點K，則AK=AQ•cosθ=（20-

4

5

t）×

4

5

=16-

16

25

t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-

16

25

t），
解得：t=

800

57

．
綜上所述，當t=

25

3

，

100

9

或

800

57

秒時，存在點P，使△APQ是等腰三角形．

（3）如答圖1所示，點N到達點F的時間為t=7；
由（1）知，點G到達點Q的時間為t=10；
QE=10×

4

5

=8，AQ=20-8=12，
∵GR∥BC，∴

QR

EF

=

AQ

AE

，即

QR

7

=

12

20

，∴QR=

21

5

．
∴點G到達點R的時間為t=10+

21

5

=

71

5

；
點E到達終點B的時間為t=16．
則在△GMN運動的過程中：
①當0≤t＜7時，如答圖5所示：
QE=NE•cosθ=

4

5

t，QN=NE•sinθ=

3

5

t，
S=

1

2

QE•QN=

1

2

•

4

5

t•

3

5

t=

6

25

t²；

②當7≤t＜10時，如答圖6所示：
設QN與AF交于點I，
∵tan∠INF=

GM

GN

=

4

3

，tan∠IFN=

AB

BF

=

4

3

，
∴∠INF=∠IFN，△INF為等腰三角形．
底邊NF上的高h=

1

2

NF•tan∠INF=

1

2

×（t-7）×

4

3

=

2

3

（t-7）．
S_△INF=

1

2

NF•h=

1

2

×（t-7）×

2

3

（t-7）=

1

3

（t-7）²，
∴S=S_△QNE-S_△INF=

6

25

t²-

1

3

（t-7）²=-

7

75

t²+

14

3

t-

49

3

；
③當10≤t＜

71

5

時，如答圖7所示：
由②得：S_△INF=

1

3

（t-7）²，
∴S=S_△GMN-S_△INF=24-

1

3

（t-7）²=-

1

3

t²+

14

3

t+

23

3

；

④當

71

5

＜t≤16時，如答圖8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
設GM與AF交于點I，過點I作IK⊥MN于點K．
∵tan∠IFK=

AB

BF

=

4

3

，∴可設IK=4x，F(xiàn)K=3x，則KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF=

IK

KM

=

4x

3x+17-t

=

3

4

，解得：x=

3

7

（17-t）．
∴IK=4x=

12

7

（17-t）．
∴S=

1

2

FM•IK=

6

7

（t-17）²．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關系式為：
S=

6 25 t2(0≤t＜7) - 7 75 t2+ 14 3 t- 49 3 (7≤t＜10) - 1 3 t2+ 14 3 t+ 23 3 (10＜t≤ 71 5 ) 6 7 (t-17)2( 71 5 ＜t≤16)

點評：本題是運動型綜合題，難度較大，解題關鍵是清楚理解圖形的運動過程．計算過程較為復雜，需要仔細認真；第（2）（3）問中，注意均需要分情況討論，分別計算，避免漏解．