Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A圓心與原點(diǎn)O重合，直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、C，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)，tan∠ABC=．

（1）若點(diǎn)P是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線BC的最小距離，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著線路OB→BC→CO運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
①求⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中與坐標(biāo)軸相切時(shí)t的取值；
②求⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的圖形的面積為    ．

Answer 1

（1），最小距離為3.8；（2）①1、、、、、23；②42+

試題分析：（1）利用點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）且tan∠ABC=，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用△OPH∽△CBO，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①利用⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的面積=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個(gè)圓的面積-△LSK面積，求出即可；
②利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出t的值即可，注意利用數(shù)形結(jié)合得出．
（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）且tan∠ABC=


∴AC=8，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為：C（0，8），
∴BC=10，
過O作OG⊥BC于G，則OG與⊙A的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．過P作PH⊥x軸于H，

∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，

可得，
∴；
（2）①如圖所示：⊙A與△OBC的三邊相切有6種不同的情況，
當(dāng)⊙O₂與BC相切于點(diǎn)N，則O₂N⊥BC，

∵∠OBC=∠O₂BN，∠O₂NB=∠COB=90°，
∴△O₂NB∽△COB，

解得
則，則t的值為秒，
同理可得出：O₃，O₄，O₅的位置，即可得出時(shí)間t的值，
故t=1、、、、、23；
②如圖2所示：當(dāng)圓分別在O，B，C位置時(shí)，作出公切線DR，YH，F(xiàn)G，PW，切點(diǎn)分別為：D，R，H，G，F(xiàn)，P，W
連接CD，CF，BG，過點(diǎn)K作KX⊥BC于點(diǎn)X，PW交AB于點(diǎn)U，

∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，

∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，

同理可得出：△LSK∽△COB，

解得：LS=4，
則∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的面積
=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個(gè)圓的面積-△LSK面積，

=42+.
點(diǎn)評(píng)：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是中考的熱點(diǎn)，尤其在壓軸題中極為常見，要特別注意.