1.△ABC中,AB=AC.將△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A′B′C,連BB′,以AB、BB′為鄰邊作?ABB′D,連A′D.
(1)旋轉(zhuǎn)后B、C、A′在一條直線(xiàn)上.如圖1,若∠BAC=60°,則∠ADA′=60°;如圖2,若∠BAC=90°,則∠ADA′=45°; 
(2)如圖3,旋轉(zhuǎn)后B、C、A′在一條直線(xiàn)上.若∠BAC=α,則∠ADA′=90°-$\frac{α}{2}$(用含α的式子表示);
(3)分別將圖1與圖2中的△A′B′C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖4、圖5,使B、C、A′不在一條直線(xiàn)上,連AA′,則圖4中,△ADA′的形狀是等邊三角形;圖5中,△ADA′的形狀是等腰直角三角形.請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明.

分析 (1)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖1.易證△BCB′≌△ACA′,則有BB′=AA′,∠CBB′=∠CAA′,從而可得∠AOB=∠ACB.由平行四邊形ABB′D可得AD=BB′,AD∥BB′,從而可得AD=AA′,∠DAA′=∠AOB,即可得到∠DAA′=∠ACB=60°,則有△ADA′是等邊三角形,因而∠ADA′=60°;
連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖2.易證△BCB′∽△ACA′,則有$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠CBB′=∠CAA′從而可得∠AOB=∠ACB,由平行四邊形ABB′D可得AD=BB′,AD∥BB′,從而可得$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠DAA′=∠AOB,從而可得∠DAA′=∠ACB,即可得到△DAA′∽△BCA,即可得到∠ADA′=∠CBA=45°;
(2)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖3.同(1)可得到∠ADA′=∠CBA,由AB=AC及∠BAC=α即可得到∠ADA′=∠CBA=90°-$\frac{α}{2}$;
(3)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖4.同(1)可得到△ADA′是等邊三角形;
連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖5.同(1)可得到△DAA′∽△BCA,由等腰直角△BCA即可得到△DAA′是等腰直角三角形.

解答 解:(1)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖1.

∵△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得,∠BAC=60°,AB=AC,
∴CA=CA′=CB=CB′,∠ACB=∠A′CB′,
∴∠BCB′=∠ACA′.
在△BCB′和△ACA′中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCB′=∠ACA′}\\{CB′=CA′}\end{array}\right.$
∴△BCB′≌△ACA′,
∴BB′=AA′,∠CBB′=∠CAA′.
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB,∠AEB=∠CBB′+∠ACB,
∴∠AOB=∠ACB.
∵四邊形ABB′D是平行四邊形,
∴AD=BB′,AD∥BB′,
∴AD=AA′,∠DAA′=∠AOB,
∴∠DAA′=∠ACB=60°,
∴△ADA′是等邊三角形,
∴∠ADA′=60°.
連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖2.

∵△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得,
∴CA=CA′,CB=CB′,∠ACB=∠A′CB′,
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$,∠BCB′=∠ACA′.
∴△BCB′∽△ACA′,
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠CBB′=∠CAA′.
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB,∠AEB=∠CBB′+∠ACB,
∴∠AOB=∠ACB.
∵四邊形ABB′D是平行四邊形,
∴AD=BB′,AD∥BB′,
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠DAA′=∠AOB,
∴∠DAA′=∠ACB,
∴△DAA′∽△BCA,
∴∠ADA′=∠CBA.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ADA′=45°.
故答案分別為60°、45°;

(2)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖3.

∵△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得,
∴CA=CA′,CB=CB′,∠ACB=∠A′CB′,
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$,∠BCB′=∠ACA′.
∴△BCB′∽△ACA′,
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠CBB′=∠CAA′.
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB,∠AEB=∠CBB′+∠ACB,
∴∠AOB=∠ACB.
∵四邊形ABB′D是平行四邊形,
∴AD=BB′,AD∥BB′,
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠DAA′=∠AOB,
∴∠DAA′=∠ACB,
∴△DAA′∽△BCA,
∴∠ADA′=∠CBA.
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$,
∴∠ADA′=90°-$\frac{α}{2}$.
故答案為90°-$\frac{α}{2}$;

(3)連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖4.

∵△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得,∠BAC=60°,AB=AC,
∴CA=CA′=CB=CB′,∠ACB=∠A′CB′,
∴∠BCB′=∠ACA′.
在△BCB′和△ACA′中
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCB′=∠ACA′}\\{CB′=CA′}\end{array}\right.$
∴△BCB′≌△ACA′,
∴BB′=AA′,∠CBB′=∠CAA′.
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB,∠AEB=∠CBB′+∠ACB,
∴∠AOB=∠ACB.
∵四邊形ABB′D是平行四邊形,
∴AD=BB′,AD∥BB′,
∴AD=AA′,∠DAA′=∠AOB,
∴∠DAA′=∠ACB=60°,
∴△ADA′是等邊三角形.
連接AA′,交BB′于點(diǎn)O,設(shè)AC與BB′交于點(diǎn)E,如圖5.

∵△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得,
∴CA=CA′,CB=CB′,∠ACB=∠A′CB′,
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CB′}{CA′}$,∠BCB′=∠ACA′.
∴△BCB′∽△ACA′,
∴$\frac{BB′}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠CBB′=∠CAA′.
∵∠AEB=∠CAA′+∠AOB,∠AEB=∠CBB′+∠ACB,
∴∠AOB=∠ACB.
∵四邊形ABB′D是平行四邊形,
∴AD=BB′,AD∥BB′,
∴$\frac{AD}{AA′}$=$\frac{CB}{CA}$,∠DAA′=∠AOB,
∴∠DAA′=∠ACB,
∴△DAA′∽△BCA.
∵△BCA是等腰直角三角形,
∴△DAA′是等腰直角三角形.
故答案分別為等邊三角形、等腰直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí),考查了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,突出了對(duì)四基(基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))的考查,體現(xiàn)了新課程理念.

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