Question

【題目】如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為 ，設AB=x，AD=y

（1）求y與x的函數關系式；
（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PBPC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過A作AE⊥BC于點E，

在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，

∴AE=ABsinB= x，

∵S△APD= ADAE= ，

∴ y x= ，

則y=

（2）

解：∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

∴∠BAP=∠CPD，

∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD，

∴ = ，

∴PBPC=ABDC=AB2，

當y=1時，x= ，即AB= ，

則PBPC=（ ）2=2

（3）

解：如圖2，取AD的中點F，連接PF，

過P作PH⊥AD，可得PF≥PH，

當PF=PH時，PF有最小值，

又∵∠APD=90°，

∴PF= AD= y，

∴PH= y，

∵S△APD= ADPH= ，

∴ y y≥ ，即y2≥2，

∵y＞0，

∴當取“=“時，y取最小值 ，

則y的最小值為

【解析】（1）如圖1，過A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用銳角三角函數定義表示出AE，三角形PAD的面積以AD為底，AE為高，利用三角形面積公式表示出，根據已知的面積即可列出y與x的函數關系式；（2）根據∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC為三角形ABP的外角，利用外角性質得到關系式，等量代換得到∠BAP=∠CPD，再由四邊形ABCD為等腰梯形，得到一對底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP與三角形PDC相似，由相似得比例，將CD換為AB，由y的值求出x的值，即為AB的值，即可求出PBPC的值；（3）取AD的中點F，過P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，當PF=PH時，PF最小，此時F與H重合，由三角形APD為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即為PH，三角形APD面積以AD為底，PH為高，利用三角形面積公式表示出三角形APD面積，由已知的面積求出y的值，即為最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外角的相關知識，掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對等腰梯形的性質的理解，了解等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個角相等；兩條對角線相等．