Question

17．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，CH⊥AB于H點(diǎn)，交AE于G．
（1）試說明AH=BH
（2）求證：BD=CG．
（3）探索AE與EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；
（2）證明△ACG≌△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
（3）證明△ACE≌△CBF即可．

解答 證明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，
∴AH=BH；
（2）∵ABC為等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴∠ACG=45°，
∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAG=∠BCF，
在△ACG和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAG=∠BCD}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△CBD（ASA），
∴BD=CG；
（3）AE=EF+BF，
理由如下：在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCF}\\{∠AEC=∠CFB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．