Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動點P從點B出發(fā)，以2個單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以2個單位/s的速度沿C→D→A方向向點A運動；過點Q作QE⊥BC于點E．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．問：

①當點P在B→A上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值，并判斷此時PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴S_ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面積；

②第一種情況：當0≤t≤4時．過Q點作QH⊥AB，垂足為H．

解得：，（不合題意舍去），

∴，

∴第二種情況：4≤t＜5時．DP=DQ=10﹣2t．

∴當4≤t＜5時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

第三種情況：5＜t≤6時．DP=DQ=2t﹣10．

∴當5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

綜上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6時，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

考點：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．動點型．