Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標(biāo)原點，點B的坐標(biāo)為（4，3），點A、C在坐標(biāo)軸上，點P在BC邊上，直線l1：y=2x+3，直線l2：y=2x﹣3．

（1）分別求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標(biāo)；
（2）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標(biāo)；
（3）我們把直線l1和直線l2上的點所組成的圖形為圖形F．已知矩形ANPQ的頂點N在圖形F上，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點，且N點的橫坐標(biāo)為x，請直接寫出x的取值范圍（不用說明理由）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直線l1：當(dāng)y=0時，2x+3=0，x=﹣

則直線l1與x軸坐標(biāo)為（﹣ ，0）

直線l2：當(dāng)y=3時，2x﹣3=3，x=3

則直線l2與AB的交點坐標(biāo)為（3，3）；

（2）

解：①若點A為直角頂點時，點M在第一象限，連結(jié)AC，

如圖1，

∠APB＞∠ACB＞45°，

∴△APM不可能是等腰直角三角形，

∴點M不存在；

②若點P為直角頂點時，點M在第一象限，如圖2，

過點M作MN⊥CB，交CB的延長線于點N，

則Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

設(shè)M（x，2x﹣3），則MN=x﹣4，

∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），

x= ，

∴M（ ， ）；

③若點M為直角頂點時，點M在第一象限，如圖3，

設(shè)M1（x，2x﹣3），

過點M1作M1G1⊥OA，交BC于點H1，

則Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），

∴x+3﹣（2x﹣3）=4，

x=2

∴M1（2，1）；

設(shè)M2（x，2x﹣3），

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，

∴x= ，

∴M2（ ， ）；

綜上所述，點M的坐標(biāo)為（ ， ），（2，1），（ ， ）；

（3）

解：x的取值范圍為﹣ ≤x＜0或0＜x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2．

【解析】考查了四邊形綜合題，涉及的知識點有：坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強，有一定的難度．（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標(biāo)；（2）分三種情況：①若點A為直角頂點時，點M在第一象限；若點P為直角頂點時，點M在第一象限；③若點M為直角頂點時，點M在第一象限；進行討論可求點M的坐標(biāo)；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求N點的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．